فصل اول : مفاهیم فیزیکی و معادالت نرخ انتقال حرارت

انتقال حرارت )1(

صفحه 1 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 8 9 9 11 11 11 11 عنوان فصل اول : مفاهیم فیزیکی و معادالت نرخ انتقال حرارت 1 1 : انرژی حرارتی و انتقال حرارت : 1-2 انتقال حرارت هدایتی 3 1 : ضریب هدایت حرارتی 4 1 : نکاتی چند از ضریب هدایت حرارتی 5 1 : ضریب نفوذ حرارتی 1 6 : انتقال حرارت جابجایی : 1-7 ضریب انتقال حرارت جابجایی : 1 8- نکاتی چند در مورد ضریب انتقال حرارت جابجایی : 1-9 روشهای افزایش انتقال حرارت جابجایی : 1-11 انتقال حرارت تشعشعی : 1-11 تفاوت انتقال حرارت تشعشعی با انتقال حرارت هدایتی و جابجایی : 1-12 تجزیه و تحلیل مسائل انتقال حرارت : 1-13 خالصه فصل دوم : معادالت انتقال حرارت هدایتی : 2-1 معادالت انتقال حرارت هدایتی : 2-2 معادله انتقال حرارت یک بعدی ( دیواره ) : 2-3 معادله کلی انتقال حرارت هدایتی سه بعدی 11 2-4 معادله انتقال حرارت هدایتی یک بعدی ( استوانه(: 11 : 2 5- معادله انتقال حرارت هدایتی یک بعدی ( کروی )

11 23 24 : 2-6 خالصه فصل سوم : انتقال حرارت هدایتی پایدار و یک بعدی : 3-1 انتقال حرارت هدایتی پایدار و یک بعدی : 3 2- انتقال حرارت هدایتی پایدار یک بعدی بدون چشمه حرارتی برای دیواره مسطح 24 26 : 3-3 مقاومت حرارتی 27 31 : 3-4 انتقال حرارت هدایتی پایدار یک بعدی با چشمه حرارتی ثابت در دیواره : 3-5 دیواره مرکب 33 35 3: 6- انتقال حرارت هدایتی پایدار یک بعدی بدون چشمه حرارتی در استوانه : 3-7 شعاع بحرانی استوانه 38 41 3-8: انتقال حرارت هدایتی پایدار یک بعدی بدون چشمه حرارتی درکره : 3-9 شعاع بحرانی کره 42 : انتقال حرارت از سطوح گسترش یافته 3-11 43 48 55 51 51 53 57 62 : 3-11 محاسبات انتقال حرارت از سطوح گسترش یافته : 3-12 خالصه فصل چهارم : انتقال حرارت هدایتی چند بعدی : 4-1 مقدمه 2 4 : روش های تحلیلی حل معادالت انتقال حرارت هدایتی : 4 3- حل تحلیلی معادله حاکم بر انتقال حرارت هدایتی پایدار دو بعدی بدون چشمه حرارتی در حالت خاص : 4 4- روشهای حل عددی انتقال حرارت هدایتی پایداردو بعدی بدون منبع حرارتی 4-5 :هدایت حرارتی سه بعدی

63 64 65 65 66 71 71 72 73 73 76 79 81 82 83 83 84 85 86 86 87 87 4-6 :خالصه فصل پنجم : انتقال حرارت هدایتی ناپایدار : 5 1- انتقال حرارت هدایتی ناپایدار 2 5 :معادله انتقال حرارت هدایتی ناپایدار یک بعدی بدون منبع حرارتی در دیواره 5: 3- حل تحلیلی معادله انتقال حرارت هدایتی ناپایدار دو بعدی بدون چشمه حرارتی : 5 4- حل معادالت انتقال حرارت هدایتی ناپایدار بدون چشمه حرارتی : 5-4-1 پارامترهای بدون بعد کاربردی در انتقال حرارت هدایتی ناپایدار 5-5: حل معادالت انتقال حرارت هدایتی ناپایدار چند بعدی با استفاده از نمودارهای هیسلر 6 5 : سیستم ظرفیت حرارتی فشرده -5: 7 حل معادله توزیع دما در سیستم ظرفیت حرارتی فشرده : 5-8 سیستم ظرفیت حرارتی فشرده بدون اثر جابجایی 5-9: اهمیت عدد بدون بعد بایو 11 5 : خالصه فصل ششم: مقدمه ای بر انتقال حرارت جابجایی : 6-1 مقدمه : -6 2 ضریب انتقال حرارت جابجایی : 6 3- اعداد بدون بعد کاربردی در انتقال حرارت جابجایی : 6-4 الیه مرزی سرعت : 6-5 الیه مرزی حرارت : 6-6 اهمیت الیه های مرزی : 6 7- جریان آرام ومغشوش : 6-8 معادالت حاکم در الیه مرزی

88 : 6-8-1 معادله پیوستگی 89 6 8-2- معادله اندازه حرکت 89 95 نیروی حجمی : نیروی سطحی : 6-8-2-1 6-8 -2-2 91 94 معادله انرژی : معادالت حاکم درالیه مرزی جریان آرام صفحه تخت : 6-11 6-11 99 6-11-1 معادالت تجربی در الیه مرزی جریان آرام صفحه تخت : 155 : معادالت تجربی در الیه مرزی جریان مغشوش صفحه تخت 6-11-2 151 151 153 155 156 157 6-12 :جریان داخلی 6-13 :جریان سیال از روی استوانه : 6 14- انتقال حرارت جابجایی روی استوانه : 6-15 انتقال حرارت جابجایی در داخل استوانه : 6-16 خالصه فصل هفتم : آشنایی با مبدلهای حرارتی 158 159 111 111 7-1 مبدلهای حرارتی : 7-2 مبدل حرارتی لوله پوسته ای : 7-3 تجزیه و تحلیل مبدلهای حرارتی : 7-3-1 محاسبات مبدلهای حرارتی به روش اختالف دمای متوسط لگاریتمی : 116 116 معیارهای انتخاب جریان برای لوله یا پوسته بافل ها 7-4 7-5 117 7-6 راه اندازی بستن مراقبت و نگهدار ی از مبدلهای حرارتی پوسته و لوله : 117 118 118 119 7-7 راه اندازی up( )Start : 7-8 بستن مبدلها : 7-9 بازرسی مبدلها حرارتی در حین کار کردن : 7-11 تمیز کردن مبدل حرارتی :

119 125 125 121 7-11 آزمایش مبدلهای حرارتی : 7-12 آزمایش پوسته ( Test ) Shell : 7-13 آزمایش لوله ( Test ) Tube : 7-14 گرفتگی ( Fouling ) : 121 121 7-14-1 رسوب های مواد نامحلول : 7-14-2 رسوبهای ویژه : 121 121 122 122 122 122 122 123 123 125 133 7-14-3 رسوبهای تشکیل دهنده ناشی از واکنشهای شیمیائی : 7-14-4 رسوبهای تشکیل شده در اثر خوردگی : 7-14-5 رسوبهای بیولوژیکی : 7-14-6 رسوبهای ناشی از سرد شدن مایعات ( Freezing ) : 7-15 رشد رسوبها 7-16 هزینه های ناشی از تشکیل رسوب : 7-17 مالحظات مربوط به طراحی : 7-18 مسدود شدن مسیر حرکت بخار Locking) (Vapor : 7-19 خالصه : ضمیمه 1: خالصه روابط کاربردی برای حل مسائل انتقال حرارت I ضمیمه : 2 نمودارهای کاربردی برای حل مسائل انتقال حرارت I

فصل اول مفاهیم فیزیکی و معادالت نرخ انتقال حرارت 1

1 1 : انرژی حرارتی و انتقال حرارت در ترمودینامیک با تبادل گرما و نقش آن آشنا شده ایم و بنابر اصل دوم ترمودینامیک چنانچه قسمتی از یک سیستم نسبت به قسمتهای دیگر سیستم اختالف دما داشته باشد انرژی حرارتی از نقاط گرم به سمت نقاط سرد جریان می یابد و به کمک روابط ترمودینامیکی می توان وضعیت حالت تعادل دمای تعادل مقدار کل انرژی مبادله شده را بدست آورد. اما در ترمودینامیک مکانیزم انتقال گرما و روش های محاسبه نرخ انتقال گرما مورد تجزیه و تحلیل قرار نمی گیرد. لذا ترمودینامیک فقط حالت تعادلی سیستم را مورد بررسی قرار می دهد و الزمه حالت تعادلی معادله نبود گرادیان دماست. بعبارت دیگر انتقال گرما ذاتا غیر تعادلی است لذا هدف ما از مطالعه انتقال گرما پاسخگویی به زمان الزم برای رسیدن به تعادل سیستم و تغییرات دما برحسب زمان و شدت انتقال گرما در هر لحظه از زمان و مکان است. بنابراین انتقال حرارت به صورت انرژی انتقال یافته از یک سیستم به سیستم دیگر در اثر وجود اختالف دما بین دو سیستم تعریف می گردد لذا به زبان ساده تر انتقال حرارت ناشی از وجود اختالف دماست پس نیروی محرکه انتقال حرارت گرادیان دماست بنابراین نرخ انتقال حرارت در یک جهت مشخص به میزان اختالف دما بر واحد طول بستگی دارد و هر چه اختالف دما بین دو سیستم زیادتر باشد نرخ انتقال حرارت بیشتر می شود. انتقال حرارت کال به سه روش هدایت جابجایی و تابشی صورت می گیرد. در اکثر مسائل کاربردی انتقال حرارت به صورت ترکیبی از دو یا سه روش فوق می باشد. شکل )1-1( انواع مختلف انتقال حرارت هدایتی جابجایی تشعشعی 2

: 1-2 انتقال حرارت هدایتی اگر دمای ناحیه ای از جسم از ناحیه ای دیگر آن بیشتر باشد حرارت از ناحیه گرمتر به سمت ناحیه سردتر جریان می یابد. این پدیده را هدایت گویند در این پدیده انتقال انرژی حرارتی به صورت جریان الکترونهای آزاد و یا انتقال انرژی ارتعاشی ذرات جسم به ذرات مجاور در دمای پایینتر می باشد. در این روش واسطه انتقال حرارت ساکن است ( جامدات ) لذا شدت انتقال حرارت هدایتی ( مقدار گرمای منتقل شده در واحد زمان ) متناسب با شیب دما در جسم و اندازه سطح عبوری گرما می باشد. بنابراین شدت انتقال حرارت هدایتی توسط فوریه به صورت زیر بیان گردیده است. q = KA T x (1 1) W mc بعبارت دیگر رابطه )1-1( بیان می کند که هدایت حرارتی در یک محیط به هندسه ضخامت جنس ماده و اختالف دما در عرض محیط بستگی دارد K :ضریب هدایتی حرارتی مقطع عمود بر جهت حرارت m 2 :سطح A C اختالف دما : ΔT m الیه :ضخامت Δx J S q :مقدار حرارت منتقل شده در واحد زمان شکل )1-2 ) انتقال حرارت هدایتی یک بعدی 3

بنابراین قانون فوریه بیانگر مکانیزم انتقال حرارت به روش هدایتی است قانون فوریه مبتنی بر تحلیل نیست بلکه یک تجربه بشری است همچنین عالمت منفی در قانون فوریه بیانگر جهت کاهش انتقال دماست به عبارت روشن تر گرما نمی تواند از نقطه ای سرد به نقطه ای گرم نقل مکان کند. ( قانون دوم ترمودینامیک ) قانون فوریه برای تمامی حالت ( پایدار ناپایدار ) معتبر است. حال با توجه به رابطه )1-1( اگر گرادیان دما ثابت باشد انتقال حرارت تابع ضخامت الیه نخواهد بود زیرا به ازای هر ضخامتی مقدار انتفال حرارت ثابت خواهد بود 3 1 : ضریب هدایت حرارتی ضریب هدایت حرارتی یک خاصیت مهم حرارتی جسم است و به نوع جسم و شرایط فیزیکی از قبیل دما و فشار آن بستگی دارد. لذا هر چه مقدار عددی ضریب هدایت حرارتی جسم بزرگتر باشد جسم هادی تر بود و مقدار بیشتری گرما از آن عبور می کند و برعکس هر چه مقدار عددی ضریب هدایت حرارتی جسم کوچکتر باشد جسم عایق تر می باشد. K = q T x (1 2) 4 1 : نکاتی چند از ضریب هدایت حرارتی 1 ضریب هدایت حرارتی معیاری از قابلیت مواد در هدایت گرماست 1 فلزات بیشتر از مایعات و مایعات بیشتر از گازها رسانای حرارت هستند یعنی K فلزات خالص K مایعات < K جامدات غیر فلزی < K الیاژ < K گازها < 1 فشار روی ضریب هدایت گازها و مایعات تاثیر ندارد 4 برای بعضی از اجسام جامد مخصوصا اجسام لیفی مقدار K بستگی به جهت انتقال حرارت دارد. -K اجسام متخلخل با 5 K سازنده ماده متخلخل متفاوت می باشد. 4

6 در جامدات ضریب هدایت حرارتی با افزایش دما کاهش می یابد. - 1 درجامدات ضریب هدایت حرارتی حاصل جمع امواج ارتعاشی و انرژی منتقله توسط الکترون آزاد است. K T 1 8- در گازها ضریب هدایت حرارتی با مجذور دما نسبت مستقیم دارد 2 -K تابعی از دماست و برای تعیین مقدار دقیق 1 11 ضریب هدایت حرارتی گازها معموال کوچکتر از K هر ماده نیاز به داشتن دمای آن ماده است. 0.01 W m 2 c است 11 ضریب هدایت حرارتی مایعات با افزایش دما کاهش می یابد به جز آب و گلیسرین 11- ضریب هدایت حرارتی مایعات با افزایش جرم مولکولی کاهش می یابد. 11- ضریب هدایت حرارتی مایعات به جز اطراف تقطه سه گانه نسبت به فشار خنثی است 14 ضریب هدایت حرارتی مایعات فلزی خیلی بیشتر از ضریب هدایت حرارتی مایعات غیر فلزی است. 15- ضریب هدایت حرارتی فلزات معیار ثابتی ندارد. بدینصورت که در بعضی از فلزات ضریب هدایت حرارتی با افزایش دما کاهش می یابد ( مس ) در بعضی از فلزات ضریب هدایت حرارتی با افزایش دما افزایش می یابد ( آ ول مینیوم ) در بعضی فلزات ضریب هدایت حرارتی با افزایش دما بدون تغییر باقی میماند ( فوالد ) 16 در دماهای بسیار پایین مقدار K با تغییر دما به سرعت تغییر می کند. 5 1 : ضریب نفوذ حرارتی ضریب نفوذ حرارتی یک خاصیت حرارتی جسم است که به صورت = K تعریف می شود. ρc p لذا ضریب نفوذ حرارتی بیانگر سرعت پخش یا نفوذ حرارتی در داخل جسم است یعنی هر چه مقدار عددی α بیشتر باشد حرارت در داخل جسم سریعتر پخش می شود از طرفی عددی ضریب هدایت حرارتی K نفوذ حرارتی جسم )α( بیشتر خواهد شد. بیشتر باشد و یا ظرفیت حرارتی جسم با توجه به رابطه فوق هرچه مقدار (ρc p ) کمتر باشد مقدار ضریب 5

1 6 : انتقال حرارت جابجایی اگر سطح جسمی با دمای T w در مجاورت سیالی با دمای T قرار گیرد بین جسم و سیال حرارتی مبادله می شود که این روش مبادله حرارتی را انتقال حرارت جابجایی گویند. چنانچه دمای جسم نسبت به دمای سیال بیشتر باشد ( شوفاژ هوای اطاق ) انتقال حرارت جابجایی از جسم به سیال صورت می پذیرد و برعکس ( هوای اطاق شیشه سرد پنجره ) انتقال حرارت جابجایی از سیال به جسم صورت می پذیرد. لذا انتقال حرارت جابجایی با دو مکانیزم انجام میگیرد: الف - ب - انتقال انرژی توسط حرکت زیگزاکی مولکولی ( تصادفی ) حرکت ماکروسکوپی سیال لذا برای محاسبه شدت انتقال حرارت جابجایی از قانون سرمایش نیوتن استفاده می کنیم. q = ha(t w T ) (1 3) J : مقدار حرکت منتقل شده در واحد زمان S : ضریب انتقال حرارت جابجایی W m 2 q h : سطح مقطع عمود بر جهت جریان m 2 A C T w : دمای سطح جسم : دمای سیال C T : 1-7 ضریب انتقال حرارت جابجایی در معادله )1-1( ضریب انتقال حرارت جابجایی (h) یک کمیت مقداری است و به جهت بستگی ندارد و جزء خاصیت سیال نبود بلکه مقدار آن به هندسه سطح جسم جامد نوع حرکت سیال سرعت حجمی سیال بستگی دارد. : 1 8- نکاتی چند در مورد ضریب انتقال حرارت جابجایی 6

1 ضریب انتقال حرارت جابجایی مایعات بیشتر از گازهاست. 1 ضریب انتقال حرارت جابجایی میعان بزرگتر از ضریب انتقال حرارت جابجایی جوشش و ضریب انتقال حرارت جابجایی جوشش بزرگتر از ضریب انتقال حرارت جابجایی اجباری و ضریب انتقال حرارت جابجایی اجباری بزرگتر از ضریب انتقال حرارت جابجایی آزاد است. 1 هر گاه بین جسم و سیال حرارت مبادله گردد. خواهیم دانست که در مجاورت سطح گرم جریان به سمت باالحرکت می کند و در مجاورت سطح سرد جریان به سمت پایین حرکت می کند. 4 در معادله قانون سرمایش نیوتن h مستقل از دما مد نظر قرار گرفته است اما اصوال h تابعی از دماست. : 1-9 روشهای افزایش انتقال حرارت جابجایی 1 زیاد کردن مقدار عددی ضریب انتقال حرارت جابجایی 1 ایجاد موانع روی سطوح جسم جامد که سبب افزایش سطح مبادله حرارت بین جسم و سیال می شود 1 ایجاد اغتشاش و تالطم بیشتر سرعت جریان سیال لذا با توجه به مطالب بیان شده انتقال حرارت جابجایی به دو صورت ذیل انجام می گیرد : الف انتقال حرارت جابجایی اجباری ب انتقال حرارت جابجایی آزاد اگر جریان سیال توسط عوامل خارجی نظیر پمپ فن و... ایجاد گردد انتقال حرارت جابجایی اجباری است و نیز اگر جریان سیال به واسطه اختالف چگالی ناشی از تغییرات دما باشد انتقال حرارت را جابجایی آزاد گویند. بنابراین قانون سرمایش نیوتن بیانگر مکانیزم انتقال حرارت به روش جابجایی است : 1-11 انتقال حرارت تشعشعی 7

هر گاه دو یا چند جسم که از سطح خود انرژی منتشر می کنند و در معرض دید یکدیگر قرارگیرند مقداری از انرژی تابش شده هر سطح به سطح دیگر برخورد می کند و تبادل حرارت صورت می. گیرد روش تبادل حرارت انتقال حرارت به روش تشعشعی گویند. لذا تبادل انرژی فی مابین دو سطح این که به به صورت امواج الکترومغناطیس می باشد. بنابراین کلیه اجسام در دماهای باالتر از صفر مطلق انتقال حرارت به صورت تشعشعی دارند که مقدار شدت انتقال حرارت آن توسط بولتزمن به شرح ذیل بیان گردیده است : q :خالص J S شدت انتقال حرارت تشعشعی σ: ثابت بولتزمن که مقدار عددی آن برابر q = A. ε. σ (T 4 w1 T 4 w2 ) 8 Wm2 5.6 10 k 4 : ε ضریب صدور سطح جسم که مقدار آن بین 1-1 است است سطح تشعشع جذب شده m 2 A: K K : T W1 دمای مطلق جسم اول : T W2 دمای مطلق جسم دوم با توجه به مطالب بیان شده حداکثر انتقال حرارت تشعشعی زمانی خواهد بود که فاصله بین دو جسم خالء کامل باشد. : 1-11 تفاوت انتقال حرارت تشعشعی با انتقال حرارت هدایتی و جابجایی 1 عامل انتقال حرارت در تشعشع امواج الکترومغناطیس یا فوتون است در حالیکه عامل انتقال حرارت در هدایت و جابجایی مولکول یون یا الکترون است. 1 در تشعشع انتقال حرارت با توان چهارم درجه حرارت مطلق جسم بستگی دارد در حالیکه در هدایت و جابجایی انتقال حرارت متناسب با اختالف دمای نسبی است بنابراین قانون بولتزمن بیانگر مکانیزم انتقال حرارت به روش تشعشعی است 8

: 1-12 تجزیه و تحلیل مسائل انتقال حرارت 1 داده های مسئله : پس از مطالعه دقیق مسئله داده های آنرا به صورت خالصه بنویسید. 1 خواسته های مسئله : بطور دقیق خواسته ها مسئله را بنویسید. 1 شکل شماتیک : شکل شماتیک سیستم فیزیکی مسئله را رسم کنید. 4 فرضیات : تمامی فرضیات منطقی که مسئله را ساده می کند را بنویسید. 5 خواص : کلیه خواصی را که برای محاسبات نیاز دارید را مشخص کنید. 6 تجزیه و تحلیل : این عمل با کاربرد قوانین بقای مربوطه و استفاده از معادالت انتقال حرارت امکان پذیر است. 1 نتایج : روی نتایج بحث کنید. : 1-13 خالصه q = KA dt dx 1- هدایت : پخش انرژی بواسطه حرکت نامنظم مولکولها 2- جابجایی : پخش انرژی بواسطه حرکت نامنظم ملکولها به اضافه انتقال انرژی در اثر حرکت توده سیال q = ha(t w T ) -3 تشعشع : انتقال انرژی توسط امواج الکترومغناطیس ) w2 q = Aεσ(T 4 w1 T 4 4 انتقال حرارت در جامدات و مایعات ساکن به صورت هدایت انجام می شود. 5 انتقال حرارت در سیاالت و گازها به صورت جابجایی و احتماال تشعشع انجام می گیرد. 6 مکانیزم انتقال حرارت در دماهای خیلی باال تشعشعی است 7 مکانیزم انتقال حرارت در دماهای پایین جابجایی و هدایت هستند - 8 محرک انتقال گرما گرادیان دماست 9

نرخ انتقال گرما در یک جهت مشخص به میزان اختالف دما بر واحد وابسته است یعنی هرچه مقدار -1 اختالف دما بیشتر باشد نرخ انتقال حرارت زیادتر می شود. 11- هرگاه گرادیان دما ثابت بود انتقال حرارت به ضخامت بستگی نخواهد داشت زیرا به ازای هر ضخامتی مقدار انتقال حرارت ثابت است. 11 -انتقال حرارت هدایتی تابع برداری است و به جهت بستگی دارد. 11- انتقال حرارت جابجایی یک کمیت مقداری است و به جهت بستگی ندارد. 11- برای اندازه گیری دمای اجسام خیلی دور از پیزو متر استفاده می شود. مایعات و جامدات عموما بیشتر از 1 MJ است. m 3 K ρcp - 14 1 KJ هستند. گاز ها به علت کم بودن چگالی شان عموما برابر Km 3 ρcp -15 10

دوم فصل معادالت انتقال حرارت هدایتی : 2-1 معادالت انتقال حرارت هدایتی 11

بنابر اصل بقای انرژی مجموع انرژیهای ورودی و تولید شده برابر با مجموع انرژیهای خروجی و ذخیره شده در حجم کنترل می باشد لذا برای درک موضوع کافی است با توجه به شکل هندسی سیستم مورد بحث یک دستگاه مختصات مناسب ( یک المان حجمی( از سیستم انتخاب و سپس اصل بقای انرژی برای این حجم کنترل را مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم شدت حرارت ورودی و خروجی را به کمک قانون فوریه و با توجه به شیب دما در مقاطع ورودی و خروجی المان حجم می توان بدست آورد. : 2-2 معادله انتقال حرارت یک بعدی ( دیواره ) شکل )1-1( مدل انتقال حرارت هدایتی یک دیواره را نشان می دهد بطوریکه ضریب هدایتی حرارتی آن K شکل )2-1( مدل انتقال حرارت هدایتی یک دیواره و ضخامت دیواره L و شدت حرارت تولیدی در داخل جسم q و دمای طرفین دیواره Tو 1 T 2 باشند اگر بواسطه اختالف دمای طرفین دیواره انتقال حرارت هدایتی در دیوار جریان یابد. به کمک معادله بقای انرژی برای جزء المان سطح مذکور خواهیم داشت : q in + q gen = q out + q abs (2 1) لذا با توجه به قانون فوریه هر یک از جمالت معادل )1-1( را تعیین می کنیم. 12

q in = KA T x q gen = q Adx q out = KA T x x+dx q abs = Adxρ cp T t = KA( T x + 2 T x 2 dx) حال با جاگذاری جمالت باال در معادله) 1-1 ( خواهیم داشت: KA T x + q Adx = KA T x KA 2 T x 2 dx + Adxρ T cp t (2 2) با ساده کردن معادله )1-1( و تقسیم باقیمانده جمالت )1-1( بر KAdx خواهیم داشت : q K = 2 T x 2 + ρ cp k T t (2 3) 1 = ρ cp k اگر مقدار K ثابت فرض شود و باتوجه به اینکه نسبت و جایگذاری آن در معادله )1-1( و ساده نمودن معادله فوق خواهیم داشت: ( عکس ضریب نفوذ حرارتی است( 2 T x 2 + q K = 1 T t (2 4) : 2-3 معادله کلی انتقال حرارت هدایتی سه بعدی 13

جریان حرارت در اجسامی که بیش از یک بعد دارند. به صورت حرارت هدایت شده به داخل و یا خارج شده از المان حجم در سه جهت محورهای مختصات خواهد بود. شکل )1-1( مدل انتقال حرارت هدایتی را در یک دستگاه مختصات کارتزین سه بعدی به اضالع dz, dy, dx در فاصله x,y,z از مرکز دستگاه نشان میدهد. شکل )2-2( مدل هدایت حرارتی سه بعدی لذا معادله بقای انرژی برای المان حجم dx,dy,dz با فرض ثابت بودن K خواهد بود. q in + q gen = q out + q abs (2 5) q in = q x +q y + q z q out = q x+dx +q y+dy + q z+dz q gen = dxdydzq q abs = dxdydz ρ cp T t q x+dx = Kdydz( T x + 2 T x 2 dx) q y+dy = Kdxdz( T y + 2 T y 2 dy) 14

q x+dx = Kdxdy( T z + 2 T z 2 dz) با جایگذاری جمالت باال در معادله )1-5( و سپس ساده نمودن معادله مذکور و تقسیم باقی مانده جمالت 1 خواهیم داشت : ρ cp K معادله بر dxdydzk و جایگزین نمودن معادل یعنی 2 T x 2 + 2 T y 2 + 2 T z 2 + q K = 1 T t (2 6) معادله )1-6( معادله کلی انتقال حرارت هدایتی سه بعدی است. گاهی اوقات در حالتهای خاص می توان معادله )2-6( را ساده تر کرد. 1 اگر معادله انتقال حرارت هدایتی سه بعدی پایدار باشد یعنی : T t = 0 2 T x 2 + 2 T y 2 + 2 T z 2 + q K = 0 (2 7) 1 اگر معادله انتقال حرارت هدایتی سه بعدی پایدار و بدون چشمه حرارتی باشد یعنی : q = 0 T t = 0 2 T x 2 + 2 T y 2 + 2 T z 2 = 0 (2 8) 1 اگر معادله انتقال حرارت هدایتی دو بعدی پایدار و بدون چشمه حرارتی باشد یعنی : 15

q = 0 T t = 0 T z = 0 2 T x 2 + 2 T = 0 (2 9) y2 4- اگر معادله انتقال حرارت هدایتی پایدار یک بعدی و با چشمه حرارتی باشد یعنی : T y = 0 T z = 0 T t = 0 2 T x 2 + q K = 0 (2 10) 5 اگر معادله انتقال حرارت هدایتی ناپایدار یک بعدی و بدون چشمه حرارتی باشد : q = 0 2 T x 2 = 1 T x T y = T z = 0 یعنی (2 11) 6 اگر معادله انتقال حرارت هدایتی پایدار بدون چشمه حرارتی یک بعدی باشد : q = 0 T x = T y = 0 T t = 0 یعنی 16

2 T x 2 = x (K T x ) = 0 م 12) (2 عادله )1-11( به معادله الپالس معروفند. که از نظر ریاضی دارای جواب تحلیلی هستند لذا در شرایط انتقال حرارت هدایتی پایدار بدون چشمه حرارتی و یک بعدی شار انتقال حرارت در جهت انتقال ثابت است. معادله انتقال حرارت هدایتی یک بعدی ( استوانه(: 2-4 شکل )1-1( مدل انتقال حرارت هدایتی یک استوانه بلند را نشان می دهد که المان آن لوله ای به ضخامت dr در فاصلهr از مرکز و دمای سطح داخلی لوله T i و دمای سطح خارجی لوله T o و ضریب هدایت حرارتی آن K است. و بواسطه اختالف دمای سطح داخلی و خارجی استوانه جریان انتقال حرارت هدایتی برقرار خواهد بود. شکل )2-3 ) مدل انتقال حرارت هدایتی در یک استوانه 17

لذا اگر موازنه بقای انرژی را برای این المان لوله ای بنویسیم خواهیم داشت : q in + q gen = q out + q abs (2 13) q in = 2πrLK T r q gen = 2πrLdr q حال با توجه به قانون فوریه هر یک از جمالت معادله )1-11( را تعیین می کنیم. q out = 2πrLK T r T = 2πLK [r r + dr r + ( T r + 2 T r 2 ) dr] q abs = 2πrdr ρ cp T t با جاگذاری جمالت فوق در معادله )1-11( و پس از ساده نمودن معادله مذکور و تقسیم نمودن تمامی معادله )1-11 ) به ρ cp k 1 جمالت باقیمانده از معادله )1-11( به 2kπrLdr و جانشین نمودن به جای صورت زیر خواهد شد: 2 T r 2 + 1 r T r + q k = 1 T t (2 14) لذا به همین ترتیب برای مختصات استوانه سه بعدی می توان روابط مربوطه را به شرطی کهK ثابت باشد چنین نوشت : 2 T r 2 + 1 r T r + 1 2 T r 2 2 + 2 T z 2 + q k = 1 T t (2 15) 18

در حالت خاص وقتی انتقال حرارت هدایتی استوانه یک بعدی بدون چشمه حرارتی و پایدار باشد معادله )1-15( به صورت زیر خواهد بود : d 2 T dr 2 + 1 r dt d dr = 1 r dr dt (r ) = 0 (2 16) dt معادله )1-16( نیز به معادالت الپالس معروفند که از نظر ریاضی دارای جواب تحلیلی هستند. : 2 5- معادله انتقال حرارت هدایتی یک بعدی ( کروی ) شکل )1-4( مدل انتقال حرارت هدایتی یک کره را نشان می دهد. که المان آن به صورت یک پوسته به ضخامت dr و دمای سطح داخلی کره T i و دمای سطح خارجی کره Toو ضریب هدایت حرارتی آن K است و بواسطه اختالف دمای فی مابین سطوح داخلی و خارجی کره جریان انتقال حرارت هدایتی برقرار خواهد بود. شکل )2-4( مدل انتقال حرارت هدایتی در یک کره 19

حال اگر معادله بقای انرژی را برای المان مذکور بنویسیم خواهیم داشت q in + q gen = q out + q abs (2 17) q in = 4kπr 2 T r q gen = 4πr 2 drq q out = 4πr 2 K T r r + r لذا با توجه به قانون فوریه هر یک از جمالت )1-11( را تعیین می کنیم : = 4πK [r2 T r + (2r T r + r2 2 T r 2 ) dr] q abs = 4πr 2 dr ρ cp T t باجایگذاری جمالت فوق در معادله )1-11( و پس از ساده کردن معادله مذکور و تقسیم نمودن تمامی d 2 T dr 2 معادله )1-11( + 2 r ρ cp جمالت باقیمانده از معادله )1-11 ) به 4πr2 kdr و جانشین کردن 1 بجای k dt dr + q k = 1 dt dt 20 به صورت زیر خواهد شد : (2 18) چنین بنابراین برای مختصات سه بعدی کروی می توان روابط مربوطه را به شرطی کهK مقداری ثابت باشد 2 T r 2 + 2 r معادله 1-11( ) T r + 1 r 2 sin θ T (sinθ θ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ 2 T 2 + q K = 1 T t نوشت : (2 19) در حالت خاص وقتی انتقال حرارت هدایتی کره یک بعدی پایدار بدون چشمه حرارتی باشد 2 T r 2 + 2 T r r = 1 r 2 r به صورت زیر خواهد بود : T (r2 ) = 0 (2 20) r

ش- معادله )1-11( نیز به معادله الپالس معروفند که از نظر ریاضی دارای جواب تحلیلی هستند. حال با توجه به معادالت )1-11( )1-16( و) 1-11 ( که همگی معادالت الپالس یک بعدی در دستگاه مختصات هستند به صورت زیر نیز قابل بیان هستند : x T (xn ) = o (2 21) x 1- اگر دستگاه مختصات کارتزین باشد 0=n 1- اگر دستگاه مختصات استوانه ای باشد 1=n 1- اگر دستگاه مختصات کروی باشد 2=n بنابراین با حل معادله انتقال حرارت هدایتی مربوط جسم به یک می توان معادله توزیع دما را در آن جسم بدست آورد. ولی حل این معادالت مستلزم معلوم بدون شرایط فیزیکی و زمان اولیه موجود در مرزهای جسم لذا میباشد. معادالت انتقال حرارت هدایتی از نظر مکانی درجه دوم و از نظر زمانی درجه اول هستند لذا برای حل معادالت انتقال حرارت هدایتی به دو شرط مرزی و یک شرط اولیه نیازمندیم. 1 رط اولیه فقط برای حالت ناپایدار الزم است و معادالت به صورت زیر بیان می شود : t = 0 T(x, o) = T o T(0, t) = T 1 1 اگر انتقال حرارت هدایتی دمای سطح ثابت باشد. k T 1- اگر انتقال حرارت هدایتی شار حرارتی در سطح ثابت باشد q x x = o = T x x = o = o 4- اگر انتقال حرارت هدایتی سطح آدیاباتیک باشد 21

: 2-6 خالصه 1 اگر در سطح جسم انتقال حرارت جابجایی داشته باشیم مقدار انتقال حرارت هدایتی در جسم با مقدار انتقال حرارت جابجایی جسم برابر خواهد بود. k T x x = o = h(t w T ) 1 اگر نقطه اکسترم منحنی توزیع دما روی سطح جسم باشد بیانگر آدیاباتیک بودن سطح است. 1 اگر منحنی توزیع دما دارای نقطه می نیمم باشد بیانگر گرم شدن جسم است. 4 اگر منحنی توزیع دما دارای نقطه ماکزیمم باشد بیانگر سرد شدن جسم است. 5 اگر منحنی توزیع دما به صورت خط راست باشد بیانگر عدم وجود چشمه حرارتی در داخل جسم و پایدار بودن توزیع دما در جسم است. 22

سوم فصل انتقال حرارت هدایتی پایدار و یک بعدی 23

: 3-1 انتقال حرارت هدایتی پایدار و یک بعدی در این فصل به بررسی سیستمهای هدایتی پایدار و یک بعدی انتقال حرارت می پردازیم بنابراین در یک سیستم یک بعدی گرادیان دما فقط در یک جهت محور مختصات وجود دارد و انتقال حرارت نیز فقط در همان جهت خواهد بود لذا هدف اصلی در این فصل تعیین معادله توزیع دما و نرخ انتقال حرارت در اشکال هندسی می باشد. : 3 2- انتقال حرارت هدایتی پایدار یک بعدی بدون چشمه حرارتی برای دیواره مسطح در انتقال حرارت پایدار یک بعدی بدون چشمه حرارتی در یک دیواره ساده درجه حرارت فقط تابعی x بوده و انتقال حرارت فقط در همان جهت جریان می یابد شکل )1-1 ) شکل )3-1( مدل انتقال حرارت در یک دیواره مسطح 24

با توجه به شکل )1-1 ) که ضریب هدایت حرارتی Kو ضخامت دیواره Lو دو طرف دیواره دارای دماهای ثابت T 1, T 2 باشند. می توان معادله توزیع دما در داخل دیواره و همچنین شدت حرارت انتقالی از درون دیواره را به صورت زیر نوشت : d 2 T 2 = 0 (3 1) dx با دو بار انتگراگیری از معادله )1-1( خواهیم داشت dt dx = c 1 (3 2) لذا جواب عمومی معادله توزیع دما دیواره بدون منبع حرارتی به صورت زیر خواهد بود : T (x) = c 1 x + c 2 (3 3) معادله )1-1( معادله خطی به شیب c 1 و عرض از مبدا c 2 است و با توجه به اینکه c 2, c 1 ثابتهای انتگرالند مقدار آنها با استفاده از شرایط مرزی شکل )1-1( تعیین می گردند. B. C. 1 x = 0 T = T 1 C 2 = T 1 (3 4) B. C. 2 x = L T = T 2 C 1 = T 2 T 1 L (3 5) با جاگذاری مقادیر c 1 و c 2 در معادله جواب عمومی )1-1( معادله توزیع دما به صورت زیر خواهد بود. T (x) = (T 2 T 1 ) L x + T 1 (3 6) حال با در دست داشتن معادله توزیع دما )1-6( و با استفاده از قانون فوریه معادله )1-1( نرخ انتقال حرارت هدایتی یک بعدی پایدار بدون چشمه حرارتی دیواره مسطح محاسبه می شود. لذا برای این کار کافی است از معادله ( 1-6 ) نسبت به ( x مشتق بگیریم تا گرادیان دما 25 بدست آید با جایگزاری گرادیان دما dt dx در معادله 1-1( معادله نرخ انتقال حرارت هدایتی یک بعدی دیواره تعیین خواهد شد.

dt dx = T 2 T 1 L q = KA dt dx = ka T 1 T 2 L (3 7) (3 8) 3: 3- مقاومت حرارتی همانطورکه مقاومت الکتریکی وابسته به جریان الکتریسیته است مقاومت حرارتی نیز وابسته به جریان حرارت است لذا مقاومت حرارتی را به صورت نسبت پتانسیل محرک به نرخ انتقال حرارت مربوطه تعریف می کنیم یعنی : R = پتانسیل محرک نرخ انتقال حرارت لذا با توجه به تعریف مقاومت حرارتی و نیز معادله )1-8( مقاومت حرارتی هدایتی دیواره برابر است با : R cond = T 1 T 2 q = L KA (3 9) همچنین مقاومت حرارتی را می توان برای انتقال حرارت جابجایی روی یک سطح نیز تعریف کرد بنابراین با توجه به قانون سرمایش نیوتن معادله )1-1 ) q = ha(t w T ) مقاومت حرارتی جابجایی دیواره برابر است با : R cond = T w T q = 1 ha (3 10) 26

یک بعدی با چشمه حرارتی ثابت در دیواره : 3-4 انتقال حرارت هدایتی پایدار یکی از مسائل مهم قابل بررسی در هدایت حرارتی این است که سیستم خود تولید کننده حرارت )چشمه حرارتی ) باشد. همانگونه که بیان شده وجود شیب دما در اجسام باعث انتقال حرارت درون جسم میشود. چنانچه خود جسم به نحوی تولید کننده حرارت باشد. معادله بقای انرژی و در نتیجه معادله توزیع دما نرخ انتقال حرارت در جسم میزان و جهت انتقال حرارت در جسم نیز متفاوت خواهد بود نمونه های چشمه حرارتی عبارتند از جریان الکتریکی پرتوهای رادیواکتیو در فلزات تابشی واکنش شیمیایی درون سیستم q ( w m 3) لذا شدت تولید حرارت عبارت است از مقدار حرارت تولید شده در حجم جسم و در زمان واحد شکل 1-1( ) شکل )3-2( مدل چشمه حرارتی ثابت در دیواره حال با توجه به شکل )1-1( دماهای طرفین دیواره در T w و ضخامت آن 2L و ضریب انتقال حرارت هدایتی آن ثابت K و شدت تولید حرارت در داخل دیواره q باشد. با توجه به معادله )1-11( معادله توزیع دمای داخلی و شدت حرارت انتقالی از طرفین دیواره به شرح ذیل خواهد بود : 27

2 T x 2 + q K = 0 (2 10) با دوبار انتگرالگیری از معادله فوق خواهیم داشت T x = q K x + C 1 (3 11) لذا جواب عمومی معادله توزیع دما دیواره با وجود منبع حرارتی به صورت زیر خواهد بود : T = q x 2 2K + C 1x + C 2 (3 12) با توجه به اینکه cثابتهای 2, c 1 انتگرال اند مقدار آنها با توجه به شرایط مرزی شکل )1-1( تعیین می شوند. B. C. 1 x = 0 dt dx = 0 C 1 = 0 B. C. 2 x = L T = T w C 1 = T w + q 2K L حال با جایگذاری مقادیر cدر 2, c 1 معادله )1-11( معادله توزیع دما در دیواره با چشمه حرارتی به صورت زیر خواهد بود: T = T w + q 2K (L2 x 2 ) (3 13) X = 0 T max = T w + q L 2 2K دمای مرکز دیواره در = 0 X برابر خواهد شد با : (3 14) برای محاسبه شدت حرارت انتقالی کافی است از معادله )1-11 ) نسبت به x مشتق بگیریم تا گرادیان دما dt dx = q K X dt بدست آید یعنی dx 28

حال گرادیان دمای بدست آمده را در معادله )1-1( قرار دهیم خواهیم داشت : q = KA dt dx = KA ( q L K ) = Aq L (3 15) با توجه به متقارن بودن دیواره حرارت خروجی از طرفین دیواره برابر خواهد بود q = 2Aq L (3 16) حال با توجه به شکل) 1-1 ( اگر طرفین دیواره با سیالی که دمای آن T و ضریب انتقال حرارت جابجایی آن h باشد در تماس باشند. شکل )3-3( مدل چشمه حرارتی ثابت با اثر جابجایی بر دیواره مح سبها دمای سطح دیواره و معادله توزیع دما و شدت حرارت انتقالی از طرفین دیواره در حالت پایدارحرارتی چنین خواهد بود : حرارت خارج شده از سطح دیواره برابر است با حرارت هدایت شده به سطح دیواره یعنی : 29

KA dt dx x = L = ha(t W T ) (3 17) و با توجه به معادله )1-15( معادله )1-11( به صورت زیر خواهد شد. Aq L = ha(t W T ) (3 18) بنابراین دمای سطح دیواره برابر خواهد شد. T W = T + q L h (3 19) و با جایگذاری معادله )1-11( در معادله )1-11( معادله توزیع دما در دیواره بر اثر جابجایی سیال مجاور به صورت ذیل خواهد شد. T = T + q L h + q 2K (L2 x 2 ) (3 20) اگر دمای ماکزیمم دیواره را خواسته باشیم کافی است در معادله )1-11( مقدارx را برابر صفر قرار دهیم یعنی دمای ماکزیمم در وسط دیواره خواهد بود : x = 0 T max = T + q L ( 1 h + L ) (3 21) 2K با توجه به مطالب بیان شده در مرکز دیواره گرادیان دما صفر است لذا این سطح را می توان ادیاباتیک در نظر گرفت به عبارت روشنتر هر گاه یک طرف دیواره عایق باشد حداکثر دما در همان سمت ظاهر می شود. به همین ترتیب انتقال حرارت هدایتی پایدار یک بعدی با چشمه حرارتی ثابت با شیب دما در داخل دیواره یعنی T 1 >T 2 باشد. 30

T = q 2K X2 + ( q L K T 1 T 2 2L ) x + T 1 T max = T 1 + q 2K [L K q ( T 2 1 T 2 2L )] : 3-5 دیواره مرکب درصورتیکه دیواره از چند الیه با ضریب هدایت حرارتی و ابعاد مختلف به صورتهای سری یا موازی و یا ترکیبی تشکیل شده باشد برای محاسبه شدت جریان انتقال حرارت می توان از مدارهای معادل حرارتی استفاده کرد اشکال )1-4( و )1-5 ) شکل )3-4( مدل مدار حرارتی معادل برای دیوار مرکب سری q = T ΣR (3 22) 31

ΣR = 1 h i A + L A K A A + L B K B A + L C K C A + 1 h O A (3 23) K 1 A 1 T 1 K 2 A 2 T 2 K 3 A 3 q L T1 R1 R2 T2 شکل )3-5( مدل مدار حرارتی معادل برای دیواره مرکب موازی R3 q = T ΣR 1 R = 1 + 1 + 1 R 1 R 2 R 3 بنابراین در مقاومتهای سری : مقاومت معادل برابر است با R = R 1 + R 2 + R 3 + و در مقاومتهای موازی : مقاومت معادل برابر است با 1 R = 1 + 1 + 1 R 1 R 2 R 3 32

3: 6- انتقال حرارت هدایتی پایدار یک بعدی بدون چشمه حرارتی در در سیستم های استوانه ای معموال گرادیان دما فقط در جهت شعاع وجود دارد. میشود معادالت حاکم بر اشکال استوانه ای را تجزیه و تحلیل کرد. میگیریم بطوریکه سطوح داخلی وخارجی استوانه در دماهای ثابت آن به ترتیب rو i r o استوانه لذا به کمک قانون فوریه برای این کار شکل )1-6 ) را در نظر Tو i T o شعاع های داخلی و خارجی ضریب هدایت حرارتی آن ثابت K وبواسطه اختالف دمای فیمابین سطوح داخلی و خارجی استوانه جریان انتقال حرارت هدایتی برقرار باشد. معادله توزیع دما در دیواره استوانه را نیز می توان با دوبار انتگرالگیری از معادله )1-15( و با بکار بردن شرایط مرزی استوانه ثابت های انتگرال را تعیین نمود و سپس با مشتق گیری از معادله توزیع دما برحسب تغییرات شعاع گرادیان دما را بدست آورده و با جایگذاری گرادیان دما در معادله )1-1( شدت حرارت منتقل شده را تعیین نمود. شکل )3-6 ) مدل هدایت حرارتی در استوانه d 2 T dr 2 + 1 r dt d dr = 1 r dr (r dt dr ) = O 33

r dt dr = C 1 dt dr = C 1 r لذا جواب عمومی معادله توزیع دما استوانه به صورت زیر خواهد بود : dt = C 1 dr r T = C 1 lnr + C 2 (3 24) B. C. 1 r = r i T = T i T i = C 1 lnr i + C 2 (3 25) B. C. 2 r = r o T = T o T o = C 1 lnr o + C 2 (3 26) { T i = C 1 lnr i + C 2 T o = C 1 lnr o + C 2 با حل معادالت )1-15( و )1-16 ) در یک دستگاه خواهیم داشت C 1 = T o T i ln r i r o C 2 = T i T i T o ln r o ri lnr i با جایگذاری مقدار Cو 1 C 2 در جواب عمومی معادله توزیع دما )1-14( و با توجه به اینکه T i T< o برای تعیین شدت حرارت منتقل شده از جداره استوانه بواسطه اختالف دما با استفاده از معادله )1-1( خواهیم داشت : T = T i T i T o ln r o ri q = KA dt dr ln r r i (3 27) 34

dt dr = T i T o 1 ln r o r ri q = K(2πrL) ( T i T o ln r o ri 1 r ) q = (2πL)K T i T o ln r o ri (3 28) R cond = با توجه به تعریف مقاومت حرارتی مقاومت حرارتی هدایتی استوانه به صورت زیر خواهد بود : ln r o ri 2πLK (3 29) همچنین با توجه به اینکه مقاومت های حرارتی هدایتی و جابجایی دیوارهای مرکب استوانه همواره به R cond = R conv = n ln i = 1 صورت سری هستند داریم : r i+1 r i 2πLK i (3 30) n 1 (3 31) i = 1 2πLr i K i : 3-7 شعاع بحرانی استوانه در دیواره ساده با افزایش ضخامت عایق مقاومت حرارتی افزایش می یابد ولی تلفات حرارتی کم می شود. اما در اشکال استوانه ای و کروی با افزایش ضخامت عایق مقاومت جابجایی ومقاومت هدایتی اثرات متقابلی روی هم دارند. به طوریکه با افزایش ضخامت عایق مقاومت جابجایی کاهش می یابد ولی 35

مقاومت هدایتی افزایش می یابد لذا ناچاریم شعاع بحرانی را مورد تجزیه و تحلیل قراردهیم بطوریکه در شعاع بحرانی مقاومت حرارتی حداقل و در نتیجه تلفات حرارتی حداکثر مقدار خود راخواهد داشت شکل) 1-1 ( T r R L h. T شکل )3-7( مدل استوانه تو خالی عایق پیچیده شده شکل )1-1 ) لوله ای به شعاع R که دمای سطح آن T بوسیله عایقی که ضریب هدایت حرارتی آن ثابت K است پوشیده شده است. T می خواهیم رابطه بین ضخامت الیه عایق و میزان اتالف حرارتی را به شرطی که دمای سیال مجاور لوله و ضریب جابجایی آن ثابت و برابر h است را بدست آوریم. برای این منظور کافی است معادله شدت انتقال حرارت را برای شکل )1-1( بنویسیم. q = T T ln r R 2πLK + 1 2πrLh (3 31) حال معادله )1-11( را با توجه به قوانین Ln به فرم ساده تری بازنویسی می کنیم. 36

q = 2πLK(T T ) lnr LnR + K hr (3 32) رابطه) 1-11 ( شدت اتالف حرارتی q را برحسب شعاع الیه عایق r نشان می دهد با مشتق گیری از رابطه )1-11( و تساوی قرار دادن الیه عایق استوانه بدست می آید. آن با ص فر ( dq dr = 0) و حل رابطه مذکور بر حسب r شعاع بحرانی dq dr = 2πLK(T T ) ( 1 r k hr 2) (lnr LnR + K = 0 (3 33) )2 hr dq در معادله )1-11( برای اینکه 0 = dr باشد کافی است داخل پرانتز (1 k r hr 2) برابر صفر باشد. 1 r k hr 2 = 0 r2 r = k h r c = k h (3 34) بنابراین شعاع بحرانی الیه عایق استوانه برابر است با r c = k h (3 35) برای اطمینان از اینکه نقطه r c ماکزیمم و یا مینمم منحنی تغییرات است کافی است از رابطه )1-11( مجددا مشتق بگیریم و آنرا تعیین عالمت کنیم. خواهیم دید که این مقدار همیشه منفی است لذا نقطه r c ماکزیمم منحنی است بنابراین براحتی می توان ثابت کرد که در شعاع r c حداقل مقدار مقاومت حرارتی وجود دارد از طرفی معادله) 1-15 ( مفهوم شعاع بحرانی عایق را بیان می کند. چنانچه شعاع خارجی کمتر از مقدار شعاع بحرانی باشد. آنگاه هر افزایشی در ضخامت عایق سبب افزایش اتالف حرارت می شود و برعکس اگر شعاع خارجی بیشتر از شعاع بحرانی باشد هر افزایشی در ضخامت عایق سبب کاهش اتالف حرارتی میشود. لذا مفهوم اصلی شعاع بحرانی این است که برای مقادیر به اندازه کافی کوچکhبا افزودن عایق اتالف حرارتی جابجایی به دلیل افزایش مساحت رویه افزایش می یابد. 37

q q r i r c = k h r شکل )3-8( مدل تغییرات اتالف حرارتی لوله با افزایش شعاع عایق 3-8: انتقال حرارت هدایتی پایدار یک بعدی بدون چشمه حرارتی درکره در سیستم های کروی گرادیان دما فقط در جهت شعاع می باشد لذا با کمک قانون فوریه و معادله )1-11( می توان معادله توزیع دما در داخل دیواره کره و شدت حرارت انتقال یافته است کره ای توخالی را که سطوح داخلی وخارجی آن در دماهای را بدست آورد بدین منظور کافی Tو i T o و شعاع داخلی و خارجی آن rو i r o ضریب هدایت حرارتی کره ثابت K است را در نظر گرفت لذا بواسطه اختالف دمای سطوح داخلی و خارجی کره جریان انتقال حرارت برقرار می باشد شکل )1-1( معادله توزیع دما در دیواره کره را نیز با دوبار مشتق گیری از معادله )1-11( و با بکار بردن شرایط مرزی جهت تعیین ثابتهای انتگرال و با مشتق گیری از معادله توزیع دما بر حسب تغییرات شعاع گرادیان دما بدست آمده و با جایگزینی گرادیان دما در معادله فوریه )1-1( شدت حرارت منتقل شده بدست می آید. 38

d 2 T dr 2 + 2 r dt dr = 1 d dt r 2 (r2 dr dr ) = 0 شکل )3-9( مدل هدایت حرارتی در کره r 2 dt dr = 0 dt dr = C 1 r 2 dt = C 1 dr r 2 لذا جواب عمومی معادله توزیع دما کره به صورت زیر خواهد بود : T = C 1 r + C 2 (3 36) B. C. 1 r = r i T = T i T i = C 1 r i + C 2 B. C. 2 r = r o T = T o T o = C 1 r o + C 2 39

با حل همزمان دو معادله فوق در دستگاه خواهیم داشت : { T i = C 1 r i + C 2 T o = C 1 r o + C 2 C 1 = T i T o 1 r o 1 r i C 2 = T i 1 [ T i T o r i 1 1 ] r o r i (3 37) حال با جایگذاری مقدار Cو 1 C 2 از معادله )1-11( در معادله جواب عمومی )1-16( و با توجه به T i T< o معادله توزیع دما کره بدست می آید. T = T i T i T o 1 1 1 ( r + 1 ) (3 38) r i r o r i q = KA dt dr برای تعیین شدت حرارت منتقل شده از معادله فوریه )1-1 ) استفاده می کنیم. dt dr = T i T o 1 1 r o r i 1 r 2 40

q = K4πr 2 ( T i T o 1 r o 1 r i ) 1 r 2 q = T i T o r o r i 4πKr i r o (3 39) لذا با توجه به تعریف مقاومت حرارتی مقاومت حرارتی هدایتی و جابجایی دیواره های مرکب کره به R cond = r i+1 r i 4πKr i+1 r i n i=1 n صورت زیر خواهد بود : R conv = 1 2 (3 40) 2πr i h i i=1 : 3-9 شعاع بحرانی کره برای محاسبه شعاع بحرانی کره کافی است کره ای توخالی به شعاع R توسط عایقی با ضریب هدایت حرارتی ثابتKو شعاع خارجی r با دمای سطح خارجی کره Ti و دمای سطح خارجی عایق T و ضریب جابجاییh را در نظر بگیرید. شکل )1-11 ) شکل )3-11( مدل کره توخالی عایق پیچیده شده 41

T i T q = r R 4KπrR + 1 4πr 2 h با توجه به شکل )1-11 ) شدت انتقال حرارت به صورت زیر خواهد بود : q را بر حسب شعاع الیه عایق r نشان می دهد. با مشتق گیری (3 41) در رابطه )1-41 ) شدت اتالف حرارتی از رابطه ( 1-41( بر حسب r و تساوی قراردادن آن با صفر ) و حل رابطه مذکور بر حسب r dq =0) dr شعاع بحرانی الیه عایق کره بدست می آید : q = 4π(T i T ) 1 KR 1 Kr + 1 hr 2 dq 0 4π(T i T ) (0 + dr = 0 1 Kr 2 2 hr 3) ( 1 KR 1 Kr + 1 hr 2) 2 = 0 (3 42) ( 1 Kr 2 2 hr 3) dq = dr باشد کافی است در معادله )1-41( برای 0 برابر صفر باشد. 1 Kr 2 2 hr 3 = 0 r3 r 2 = 2k h r c = 2k h بنابراین شعاع بحرانی الیه عایق کره برابر است با r c = 2k h (3 43) : انتقال حرارت از سطوح گسترش یافته 3-11 با توجه به قانون سرمایش نیوتن پس از تعیین 1 افزایش ضریب جابجای حرارتیh Tو w T دو روش برای افزایش انتقال حرارت وجود دارد 42

1- افزایش سطح انتقال حرارت بدیهی است افزایش h از طریق ایجاد جریان جابجایی اجباری با مغشوش نمودن سرعت جریان سیال که آن مستلزم بکار بردن ماشین آالت از قبیل فن پمپ است که ممکن است این عمل نیز کافی نباشد. اما افزایش سطح انتقال حرارت از طریق افزودن سطوح اضافی به نام پره عملی امکان پذیر خواهد بود. : 3-11 محاسبات انتقال حرارت از سطوح گسترش یافته جهت محاسبه انتقال حرارت جابجایی از سطوح جانبی پره با توجه به قانون سرمایش نیوتن نیاز به داشتن دمای پای پره T o می باشد از طرف دیگر دمای پای پره از حل معادله دیفرانسیل عمومی برای پره ها بدست می آید لذا برای سادگی محاسبات معادله دیفرانسیل فرض می گیریم : 1 انتقال حرارت پایدار باشد 1 ضریب هدایت حرارتی (K) و دمای محیط اطراف پره ) T) ثابت باشد 1 ضریب جابجای حرارتی (h) ثابت باشد 4 انتقال حرارت به محیط فقط توسط جابجایی انجام گیرد T=f(x) پس می توان گفت دما فقط در یک جهت تغییر می کند ht < 1 k 2-5 پره نازک است نیمی 6- دمای پای پره یکنواخت است T o 1 مقاومت بین پره و جداره اصلی قابل صرف نظر کردن است مشخصات هندسی یک پره مکعب مستطیل را نشان می دهد که پای آن برابر شکل )1-11( T o و ثابت است و سطح مقطع پره در هر مقطع ثابت برابر A=tz و محیط پره P=2(t+z) می باشد. حال اگر بقای حرارتی را برای یک جزء حجمی پره که در فاصله x از دیوار قرار داشته و ضخامت آن dx می باشد را درحالت پایداری حرارتی بنویسیم خواهیم داشت 43

KA dt dx x KA dt dx x + dx نرخ انتقال حرارت جابجایی+ نرخ انرژی خروجی ازx+dبرابر نرخ انرژی ورودی در نقطه x = KA dt dx x + dx + hpdx(t T ) (3 44) dt = KA dx x + d dt (KA dx dx ) dx KA d2 T dx 2 dx hpdx(t T ) = 0 d 2 T dx 2 hp KA (T T ) = 0 (3 45) با حل معادله دیفرانسیلی )1-45( با کمک دو شرط مرزی می توان توزیع دما را پیدا کرد. برای اینکار کافی m 2 = hp را در نظر بگیریم معادله )1-45 ) به صورت زیر θ = T T KA و است تغییر متغییر های d 2 θ dx 2 m2 θ = 0 خواهد بود : شکل )3-11( مدل مشخصات یک پره ساده متصل به دیواره مسطح 44

حالت اول : پره بلند باشد شرایط مرزی آن عبارتند از B. C. 1 x = 0 T = T o θ = θ o = T o T B. C. 2 x T = T θ = o لذا جواب عمومی معادله توزیع دما پره بلند به صورت زیر خواهد بود : θ = C 1 e mx + C 2 e mx (3 46) θ o = C 1 + C 2 C 1 = θ o C 2 = o با اعمال شرایط مرزی در معادله( 46 3) با جایگذاری مقادیر c 1, c 2 در معادله جواب عمومی )1-46( معادله توزیع دما به صورت زیر خواهد بود. T = T + (T o T ) mx e (3 47) حرارتی که توسط جابجایی از جزءdx به سیال اطراف منتقل می شود برابر است با dq = hp(t o T )dx q = hp (T o T ) mx e ]dx 0 q = hpka(t o T ) (3 48) بازده حرارتی پره طبق تعریف برابر است با نسبت حرارت حقیقی خارج شد از سطح پره به حرارت ایده آل خارج شده از تمامی سطح پره در دمای ثابت پای پره ایده آل q = hpl(t o T ) (3 49) 45

η f = 1 ml (3 50) حالت دوم : نوک پره عایق باشد شرایط مرزی عبارتند از B. C. 1 x = o T = T o θ = θ o B. C. 2 x = l dt dx = o dθ o dx = o لذا جواب عمومی معادله توزیع دما پره ای که نوک آن عایق است به صورت زیر خواهد بود : θ = C 1 coshm(l x) + C 2 sinhm(l x) (3 51) با اعمال شرایط مرزی در معادله جواب عمومی )1-51( و تغییر متغیر T θ = T خواهیم داشت : C 2 = o C 1 = θ o coshml T = T + (T o T ) coshml با جایگذاری مقدار cو 1 cدر 2 معادله جواب عمومی )1-51 ) coshm(l x) (3 52) حرارتی که توسط جابجایی از جز dx به سیال اطراف منتقل می شود برابر است با : q = hpka (T o T ) tanhml (3 53) η f = tanhml ml (54 3) بازده حرارتی پره 46

حالت سوم : در نوک پره انتقال حرارت فقط جابجایی باشد شرایط مرزی عبارتند از از آنجائیکه حل معادله دیفرانسیل و روشهای ریاضی مشکل خواهند بود استفاده از نمودار راندمان پره خیلی ساده تر است بطوریکه محاسبات تحلیلی نشان داده است که اگر پره به اندازه کافی طوالنی باشدL>>t L 2h بیان کرد. در آن صورت راندمان پره را میتوان بر حسب پرامتر Kt B. C. 1 x = o T = T o θ = θ o B. C. 2 x = L KA dt dx = L = ha (T L T ) لذا جواب عمومی معادله توزیع دما پره ای که در نوک آن انتقال حرارت جابجایی باشد به صورت زیر خواهد بود: θ = C 1 coshm(l x) + C 2 sinhm(l x) (3 55) با جایگذاری شرایط مرزی در جواب عمومی معادله توزیع دما به صورت زیر خواهد شد. T = T + (T o T ) h coshm(l x) + ( ) sinhm(l x) km coshml + ( h km ) sinhml از آنجائیکه سطوح پره دار از دو قسمت سطح زیر پوشش پره و سطح آزاد تشکیل شده اند مقدار حرارتی که از سطوح پره دار منتقل می شوند برابر است با مجموع حرارتی که از سطوح بدون پره و سطوح پره انتقال می یابد q T = q f + q uf (3 56) q f = η f ha f (T o T ) (3 57) A f سطوح پره ها q uf = A uf h(t o T ) (3 58) A uf سطوح ما بین پره ها 47

q o = ha o (T o T ) (3 59) A o سطح جانبی ε ضریب تاثیر پره ε = q ToT q o (3 60) نکته : کرد. مقدار راندمان پره ها را با مراجعه به نمودارهای )1-1( و )1-1( ضمیمه 1 کتاب می توان تعیین 48 : 3-12 خالصه 1 در هدایت پایدار یک بعدی بدون چشمه حرارتی در یک دیواره ساده نرخ انتقال حرارت و شار حرارت مستقل ازx هستند 1 در هدایت پایدار یک بعدی بدون چشمه در یک استوانه نرخ انتقال حرارت در جهت شعاع ثابت است ولی شار حرارتی ثابت نیست 1 مقاومت حرارتی یک محیط به هندسه و خواص حرارتی آن محیط بستگی دارد 4 با وجود چشمه حرارتی در داخل دیواره های ساده استوانه کره نمی توان از مفهوم مقاومت حرارتی استفاده کرد 5 در شرایط ثابت حرارتی در دیواره های مرکب انتقال حرارت در هر الیه ثابت است زیرا q = KA dt ثابت است عبارت dx حاصلضرب سه 6- برای دیوار ساده شعاع بحرانی وجود ندارد و با افزایش ضخامت عایق مقاومت حرارتی کل افزایش مییابد 1 پره های مثلثی و سهمی بعلت کمی وزن کارایی بیشتری نسبت به پره های دیگر دارند 8- اگر طول پره به سمت بینهایت برود راندمان پره صفر خواهد شد.

1- اگر طول پره به سمت صفر برود 0=L آنگاه راندمان پره %111 خواهد شد 11 نسبت نرخ انتقال حرارت با وجود پره به نزخ انتقال حرارت بدون پره را ضریب تاثیر پره گویند. 11- زمانی راندمان پره ماکزیمم است که ضریب گرمایی پره بیشتر وضریب جابجایی سیال مجاور پرهh کمتر باشد 11- در مبادله کننده های حرارتی مایع گاز پره سمت سیال یا گازی که hکمتری دارد نصب می شود. 11- در شعاع بحرانی مقاومت حرارتی حداقل و در نتیجه اتالف حرارتی حداکثر خواهد بود. 14- برای دیواره مسطح شعاع بحرانی وجود ندارد با افزایش ضخامت عایق حرارتی گرمایی کل افزایش مییابد. 49

چهارم فصل انتقال حرارت هدایتی چند بعدی 50

: 4-1 مقدمه قبلی در فصول انتقال حرارت هدایتی یک بعدی پایدار را مورد بررسی قرار دادیم در این فصل هدایت حرارتی پایدار دو یا سه بعدی را بررسی می کنیم حل این معادالت جز در حاالت ساده مشکل و یا غیر ممکن است 2 4 : روش های تحلیلی حل معادالت انتقال حرارت هدایتی در این روش معادالت حاکم بر انتقال حرارت با کمک روش های تحلیلی ریاضی مانند تبدیل الپالس جداسازی متغییرها... حل می شود معادله عمومی هدایت حرارتی پایداربدون چشمه حرارتی در یک سیستم دوبعدی ساده مطابق معادله )1-1( خواهد بود شکل 4-1( ) شکل )4-1( مدل نمایش جریان حرارت دو بعدی برای حل این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی از روش جدا سازی 2 T x 2 + 2 T y 2 = 0 عمومی معادله به صورت حاصلضرب دو تابع جداگانه ازx,y خواهد بود. 51 متغیرها استفاده می کنیم لذا جواب

T = X(x) Y(y) (4 1) با مشتق گیری از معادله )4-1 ) بر حسب x و yخواهیم داشت 2 T x 2 2 T y 2 = Y 2 X 2 (4 2) x = X 2 Y 2 (4 3) y با جایگذاری معادالت )4-1( و 4-1( در معادله )4-1 ) خواهیم داشت X 2 Y y 2 + Y 2 X 2 = 0 (4 4) x و با ساده سازی و دسته بندی عبارت هم خانواده خواهیم داشت 1 Y 2 Y y 2 = 1 X 2 X x 2 = λ2 (4 5) که λ 2 مقداری است ثابت که بنام ثابت جداسازی نامیده می شود حال معادله )4-5( تبدیل به دو معادله دیفرانسیل معمولی می شود و با شرط λجواب 2 > o عمومی آنها به 2 X 52 صورت زیر خواهد شد : x 2 + λ2 X = 0 X = C 1 cos λx + C 2 sin λx (4 6) 2 Y y 2 λ2 Y = 0 Y = C 3 cosh λy + C 4 sinh λy (4 7) با جایگذاری معادالت ) 4-6 (و )4-1( در معادله )4-1( جواب عمومی معادله هدایت دو بعدی پایدار بدون چشمه حرارتی به صورت زیر خواهد بود T = (C 1 cos λx + C 2 sin λx) (C 3 cosh λy + C 4 sinh λy) (4 8)

1 الزم به توضیح است که در معادله )4-8( 4 C و C 3 و C 2 و C 1 ثابتهای معادله بوده که بر حسب نوع مسئله و شرایط مرزی محاسبه می گردند 1 مقدار λ² نامعلوم است که برای هر مساله خاص باید مقدار آن محاسبه گردد 1 عالمت λ² نیز نامشخص است : 4 3- حل تحلیلی معادله حاکم بر انتقال حرارت هدایتی پایدار دو بعدی بدون چشمه حرارتی در حالت خاص با توجه به شکل )4-1( که سه ضلع صفحه در دمای ثابت Tو 1 ضلع دیگر صفحه دارای دما +f(x) =T T 1 باشد معادله توزیع دما به روش تحلیلی به صورت زیر خواهد بود. y T = T 1 + f(x) T 1 T 1 T 1 شکل )4-2( مدل هدایت حرارتی دو بعدی پایدار بدون چشمه حرارتی این صفحه بیانگر سطح مقطع یک ستون است لذا در جهت عمود به صفحه) محورz ) شیب دما وجود ندارد. ضمنا ضخامت صفحه را واحد در نظر می گیریم جواب عمومی چنین شکل هندسی به صورت زیر خواهد بود 53

T = (C 1 cos λx + C 2 sin λx) (C 3 cosh λy + C 4 sinh λy) (4 9) برای حل معادله ) 4-1 (کافی است تغییر متغیر θ = T T 1 را در نظر بگیرید و با اعمال این تغییر متغیر معادله )4-1( به معادله )4-11( تبدیل می شود. حال با اعمال شرایط مرزی شکل )4-1( خواهیم داشت : θ = (C 1 cos λx + C 2 sin λx) (C 3 cosh λy + C 4 sinh λy) (4 10) B. c. 1 x = 0 T = T 1 θ = 0 B. c. 2 y = 0 T = T 1 θ = 0 B. c. 3 x = w T = T 1 θ = 0 B. c. 4 y = H T = T 1 + f(x) θ = f(x) B. c. 1 x = 0 θ = 0 0=(C 1 + 0) (C 3 cosh λy + C 4 sinh λy) C 1 = 0 B. c. 2 y = 0 θ = 0 0= (C 1 cos λx + C 2 sin λx) (C 3 + 0) C 3 = 0 θ = C 2 sin λx C 4 sinh λx با جاگذاری شرط اول در معادله )4-11 ) داریم : با جایگذاری شرط مرزی دوم لذا معادله )4-11 ) به شکل زیر خواهد بود در معادله )4-11 ) خواهیم داشت C 2 C 4 = C اگر C 2 C 4 را C در نظر بگیریم یعنی 54 معادله مذکور به صورت زیر خواهد بود. θ = C sin λx sinh λy (4 11)

با جایگذاری شرط مرزی 1 در معادله )4-11 ) خواهیم داشت B. c. 3 x = w θ = 0 0 = C sin λw sinh λy (4 12) در معادله )4-11( مقدار C و مقدار sin λy برابر صفر نیست لذا ناچارا باید مقدار = 0 λw sin باشد. λw = nπ λ = nπ w پس به ازای هرn یک مقدار λ و یک جواب برای معادله )4-11( داریم و جواب کل مجموع تمام جوابهاست بنابراین θ = C n sin ( nπ w x) sinh (nπ w y) n=0 (4 13) B. c. 4 y = H θ = f(x) حال با جایگذاری شرط مرزی چهارم در معادله )4-11 ) خواهیم داشت: f(x) = C n sin ( nπ w x) sinh (nπ w H) n=0 (4 14) از آنجائیکه می توان هر تابع ( f(xرا به روش آنالیز فوریه به صورت یک تابع سینوسی در فاصله 0<x<w نوشت لذا خواهیم داشت f(x) = sin ( nπ w x) 2 w w f(x) sin ( nπ x) dx (4 15) w n = 0 0 حال با مقایسه دو معادله )4-14( و )4-15( خواهیم داشت C n sin h ( nπ w H) = 2 w f(x) sin ( nπ w 0 w x) dx 55 مقدار ثابت C n برابر خواهد بود.

C n = 2 w sinh ( nπ w w f(x) sin ( nπ H) w 0 x) dx (4 16) حال با جایگذاری معادله )4-16( در معادله )4-11 ) و جایگذاری θ = T T 1 معادله توزیع دما برابر خواهد شد با : T = T 1 + 2 w sinh (nπ w y) n=0 sinh ( nπ w H) sin (nπ w w x) f(x) sin ( nπ w x) dx (4 17) 0 با داشتن تابع f(x) مقدار انتگرال محاسبه شده و معادله توزیع دما بدست خواهد آمد و با مشتق گیری از توزیع دما بر حسب x وy گرادیان دما یعنی معادله T بدست آمده و در معادله فوریه جایگذاری T و y x کنیم شدت انتقال حرارت بدست می آید. در حالت خاص اگر( f(x + T T= 1 برابر T 2 باشد یعنی مقدار f(x)= T 2 T- 1 باشد. در اینصورت معادله توزیع دما در صفحه برابراست با T = T 1 + 2 w sinh (nπ w y) sinh ( nπ w H) sin ( nπ w x) (T 2 T 1 ) sin ( nπ w x) dx (4 18) n=1 ( T 2 T 1 ) sin ( nπ w x) dx = ( T 2 T 1 ) [ w nπ cos (nπ w x) ] 0 0 w = ( T 2 T 1 ) w π [1 ( 1)n n 0 w ] = 2w nπ ( T 2 T 1 ) با محاسبه انتگرال )4-18 ) خواهیم داست : w 1 ( 1) n n n زوج 0 { 2 n فرد n 56

با جایگذاری مقدار انتگرال محاسبه شده در معادله )4-18( معادله توزیع دما به صورت زیر خواهد بود : T = T 1 + 4 π ( T 2 T 1 ) sinh (nπ w x) sinh (nπ w y) n=1,3,5 n=1 n sinh ( nπ w H) (4 19) و با محاسبه گرادیان دما از معادله )4-11 ) یعنی T و جایگذاری آن در معادله فوریه : شدت انتقال T و y x q = 8K π (T 2 T 1 ) n=1 1 nsinh ( nπ w ) H حرارت به شرح ذیل خواهد بود. 20) (4 n فرد است : 4 4- روشهای حل عددی انتقال حرارت هدایتی پایداردو بعدی بدون منبع حرارتی اساس این روش بر تفاضل محدود است لذا معادالت دیفرانسیل به صورت فرمولهای عددی در می آیند و با بکار گیری این فرمولها برای همه نقاط روی شکل یک دستگاه چند معادله چند مجهولی به دست میاید که همگی معادالت درجه اول هستند امروز به کمک نرم افزارهای کامیپیوتری می توان دستگاه چند معادله چند مجهولی را حل نمود. حالت : 1 اگر نقطه (m,n) در داخل صفحه باشد صفحه مورد نظر را به صورت یک شبکه با خانه هایی به عرض ΔX و طول ΔY تقسیم بندی می کنیم هرقدر خانه های شبکه کوچکتر باشد دقت محاسبات بیشتر خواهد بود لذا Δx=Δy=L در نظر می گیریم و همه نقاط روی صفحه را با توجه به فاصله روی محور x با m و ارتفاع نقطه روی محور y با n شماره گذاری می کنیم.شکل 4-1( ) 57

شکل )4-3( مدل نمایش حل عددی هدایت دو بعدی نقطه (m,n) داخل صفحه با توجه به تعریف گرادیان T x 1 = T m+1n T mn L T x 2 = T mn T m 1n L T 2 T x 2 2 و 1 = x 1 T x 2 L (4 21) (4 22) = T m+1n T mn 2T mn L 2 (4 23) به همین ترتیب در جهت y داریم T y 3 = T mn+1 T mn l T y 4 = T mn T mn+1 l (4 24) (4 25) 58

T 2 T y 2 4 و 3 = y 3 T y 4 L = T mn+1 T mn+1 2T mn L 2 (4 26) با جایگذاری معادالت )4-11( و )4-16( در معادله دو بعدی هدایت پایدار بدون منبع حرارتی معادله )1-1( 2 T x 2 خواهیم داشت : + 2 T 2 = 0 (4 27) y T mn+1 T mn 1 2T mn L 2 + T mn+1 T mn 1 2T mn L 2 = 0 T m+1n + T m 1n +T mn+1 + T mn 1 4T mn = 0 (4 28) T mn = 1 4 (T m+1n+t mn + T mn+1 + T m 1n ) (4 29) حالت : 2 نقطه ( m,n )روی سطح عایق موازی محور yها قرارداشته باشد.شکل )4-4 ) y mn+1 m-1n mn mn-1 شکل )4-4( مدل نمایش حل عددی هدایت دو بعدی نقطه ( m,n )روی یک سطح عایق عمودی x 59

وn با توجه به اینکه سطوح جسم عایق شده باشد از آنجا که حرارتی از آن سطح نمی گذرد و شیب دما در آنجا صفر است لذا T x به طور مجازی در سمت راست سطح عایق صفحه دیگری می توان در نظر گرفت به طوری که این سطح محور تقارن روی صفحه باشد پس در سمت راست نقطه m,n نقطه ای مجازی مانند 1+m وجود دارد که دمای آن با نقطه nوm-1 در داخل صفحه برابر است یعنی T و m+1 n = T و m 1 n (4 30) با جایگذاری معادله )4-11( در معادله )4-11( خواهیم داشت T mn = 1 4 (T و m n+1 +T و m n 1 + 2T و m 1 n ) (4 31) حالت : 3 نقطه ( m,n )روی سطح عایق موازی محور xها قرارداشته باشد.شکل )4-5 ) با توجه به مطالب بیان شده فوق T و m n+1 = T و m n 1 (4 32) با جایگذاری معادله )4-11( در معادله )4-11( خواهیم داشت T و m n = 1 4 (T و m 1 n +T و m+1 n + 2T و m n+1 ) (4 33) y m+1n m-1n mn mn-1 x شکل )4-5( مدل نمایش حل عددی هدایت دو بعدی نقطه( m,n ) روی سطح عایق محور افقی 60

حالت : 4 نقطه (m,n) روی تقاطع دو سطح عایق باشد. شکل )4-6 ) با توجه به مطالب بیان شده فوق T و m n+1 = T و m n 1 (4 34) T و m 1 n = T و m+1 n (4 35) با جایگذاری معادله )4-14( و )4-15( در معادله )4-11( خواهیم داشت T و m n = 1 4 (2T و m 1 n +2T و m n+1 ) (4 36) y mn+1 m-1n mn شکل )4-6( مدل نمایش حل عددی هدایت دو بعدی نقطه ( m,n )روی تقاطع دو سطح عایق x حالت : 5 نقطه ( m,n )روی سطحی که در مجاورت یک سیال قرار داده. شکل )4-1 ) y mn+1 m-1n mn شکل )4-7( مدل نمایش عدد هدایت دو بعدی نقطه (m,n) روی سطحی با مجاورت سیال x 61

برای این کار کافی است معادله توازن انرژی را برای نقطه (m,n) بنویسیم q in = q out (4 37) q in = q x + q y + q y (4 38) q x = K L T m 1n T mn 2 L q y = K L T m+1n T mn 2 L q y = KL T m 1n T mn L 39) (4 حرارت ورودی از سمت چپ (40 4) حرارت ورودی از سمت پایین (41 4) حرارت ورودی از سمت باال 42) (4 حرارت خروجی از سطح به سیال ) T q out = hl(t mn با جایگذاری معادالت )4-18( و )4-11( و )4-41( در معادله )4-11( و ساده سازی خواهیم داشت : 4-5 :هدایت حرارتی سه بعدی T mn = 1 (4+ 2hL k ) [T mn+1 + T mn 1 + 2T mn+1 + 2hL k T ] معادله دیفرانسیل هدایت حرارتی پایدار سه بعدی یا معادله الپالس بصورت زیر است 2 T x 2 + 2 T y 2 + 2 T z 2 = 0 با استفاده از روش جداسازی متغییرها جواب عمومی این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بصورت حاصلضرب سه تابع جداگانه از z,y x, فرض می شود یعنی: T = X(x). Y(y). Z(z) همانند روشی که برای حالت هدایت دو بعدی عمل کردیم و با توجه به شرایط مرزی خاص ( شکل یک میله نیمه محدود و با سطح مقطع چهار گوشه که اضالع آن H,W است و دمای سطح آزاد میله در T 1 و دمای سطح جانبی آن در T o ثابت نگه داشته شده اند در نظر گرفت ) 62

4-6 :خالصه در روش حل عددی در صورتیکه تولید انرژی q در داخل صفحه داشته باشیم جمله طرف اول معادله دیفرانسیل )1-1( اضافه می شود q k هم به در صورتیکه جسم با یک سیال تبادل حرارت جابجایی داشته باشد از موازنه انرژی استفاده میکنیم در حالتی که روی سطح جسم جابجایی حرارتی داشته باشیم دمای T mn برابر خواهد بود: -1-1 -1 T mn = a + B it b + B i : a مجموع دماهای نقاط همسایه که به صورت هدایت انتقال می یابد a تعداد نقاط ذکر شده در : b B i : عدد بدون بعد باید B i = hl k 63

فصل پنجم انتقال حرارت هدایتی ناپایدار 64

: 5 1- انتقال حرارت هدایتی ناپایدار در این فصل مسائل هدایت حرارتی ناپایدار را مورد بررسی قرار می دهیم چگونگی تغییرات دما در درون سیستم بر حسب زمان و نیز شدت انتقال حرارت در سطوح جسم بر حسب زمان را مورد مطالعه قرار میدهیم. 2 5 :معادله انتقال حرارت هدایتی ناپایدار یک بعدی بدون منبع حرارتی در دیواره معادله عمومی هدایت ناپایدار در یک سیستم یک بعدی بدون منبع حرارتی معادله )1-11( خواهد بود 2 T x 2 = 1 T t (5 1) برای حل این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی از روش جداسازی متغییر ها جواب عمومی را به صورت حاصلضرب دو تابع جداگانه از,x t فرض می کنیم پس T = X(x)Ø(t) (5 2) از معادله )5-1 ) دوبار نسبت بهx و یک بار نسبت بهt مشتق می گیریم و در معادله )1-5 ) قرار می دهیم 1 X 2 X x 2 = 1 Ø t = λ2 (5 3) λ 2 مقداری است ثابت که ثابت جداسازی نامیده می شود. معادله )5-1 ) به دو معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل می شود 2 X حال با فرض 0 > 2 λ x 2 + λ2 = 0 X = C 1 cosλx + C 2 sinλx (5 4) Ø t + λ2 Ø = 0 Ø = C 3 e λ2 t (5 5) با جایگذاری معادالت )5-4( و )5-5( در معادله )5-1 ) خواهیم داشت : T = C 3 e λ2 t (c 1 cos λx + c 2 sin λx) 65

با توجه به اینکه Cو 3 C 2 و Cثابتهای 1 معادله و مقدار عددی هستند بنابراین حاصلضرب دو عدد یک عدد C 3 *C 2 = C 2 خواهد بود لذا, C 3 *C 1 = C 1 بنابراین معادله فوق به شرح زیر خواهد بود : T = e λ2 t (c 1 cos λx + c 2 sin λx) (5 6) در معادله )5-6( 1 Cو C 2 برحسب شرایط مرزی مسئله مشخص می شوند و λ² نیز مقدار ثابت که با توجه به شرایط و نوع مسئله تعیین می گردند حتما مقدار λ² باید مثبت باشد زیرا اگر منفی باشد معادله )5-5( به صورت زیر خواهد شد. Ø(t) = Ce λ2 t (5 7) در زمانیکه t برود مقدار Ø و در نتیجه Tبه سمت بی نهایت میل می کند که از نظر فیزیکی این مطلب قابل قبول نیست زیرا مفهوم آن این است که جسم هرگز به حالت تعادل نمیرسد و اگرλ² برابر صفر به صورت θ = C در می آید که این معادله تابع زمان نیست در حالیکه موضوع اصلی باشد معادله )5-5( بزرگتر از صفر باشد پس حتما باید λ² بحث ناپایداری دما برحسب زمان است لذا این هم قابل قبول نیست. 5: 3- حل تحلیلی معادله انتقال حرارت هدایتی ناپایدار دو بعدی بدون چشمه حرارتی دیواره ای به ضخامت L با ضریب نفوذ حرارتی α با توزیع دما پایدار +f(x) T=T 1 ناگهان دو طرف دیواره به دمای T 1 تغییر و ثابت بماند. معادله توزیع دما و شدت انتقال حرارت از سطوح چنین دیواره ای به صورت زیر خواهد بود. شکل )5-1( 66

t=0 T=T1+f(x) t T=T1 x شکل )5-1( مدل هدایت ناپایدار در دیواره حل : با توجه شکل )5-1( شرایط مرزی و اولیه به صورت زیر خواهد بود : B.C.1 t > 0 x=0 T = T 1 B.C.2 t > 0 x=l T = T 1 l.c t = 0 T = T 1 +f(x) - θ=t جواب عمومی معادله توزیع دما به صورت زیر خواهد بود : با تغییر متغیر T 1 θ = e λ2 t (c 1 cos λx + c 2 sin λx) (5 8) T = T 1 θ = 0 با جایگذاری شرط مرزی 1 0 = e λ2 t (c 1 cos λ(0) + c 2 sin λ(0)) = e λ2 t (c 1 + 0) c 1 = 0 θ = Ce λ2 t sin λx (5 9) T = T 1 θ = 0 با جایگذاری شرط مرزی 2 0 = e λ2 t (c 1 cos λl + c 2 sin λl) = c 2 e λ2 t sin λl = ce λ2 t sin λl 67

e λ2 t صفر نیستند ناچارا باید = 0 λl sin پس با توجه به اینکه مقدار C و sin λl = 0 λl = nπ λ = nπ L با جایگذاری مقدار λ در معادله )5-1( خواهیم داست : θ = C n e (nπ L )2 t sin nπ x (5 10) L n=1 با جایگذاری شرط اولیه t = 0 f(x) = θ = C n e (nπ L )2 (0) sin nπ L x n=0 لذا با توجه به اینکه = 1 e پس f(x) = C n sin nπ x (5 11) L n=1 از طرفی با توجه به قانون فوریه که هر تابعی از f(x) را می توان برحسب بسط سینوسی نوشت خواهیم داشت L f(x) = sin nπ L x 2 L f(x) sin ( nπ x) dx (5 12) L n=1 0 با مقایسه معادله )5-11( و )5-11( مقدار C n برابر خواهد بود L C n = 2 L f(x) sin ( nπ x) dx (5 13) L 0 حال با جایگذاری معادله )5-11( در معادله )5-11( و برگردان ) 1 T) T به جایθ برحسب فاصله x وزمان t بدست می آید. معادله توزیع دما L T = T 1 + 2 L e (nπ L )2 t sin nπ L x f(x) sin ( nπ x) dx (5 14) L n=1 0 68

حال با داشتن تابع f(x) مقدار T تعیین می گردد در حالت خاص اگر توزیع دمای پایدار آغازین برابر T i با گذشت زمان طرفین دیواره به دمای کاهش یافته و ثابت بماند معادله توزیع دما در دیواره بر حسب مکان و زمان و شدت انتقال حرارت از سطوح دیواره بر حسب زمان به صورت زیر خواهد بود. و t = 0 T = T i θ = θ i T i T 1 - i f(x) = T و حل انتگرال مذکور خواهیم داشت : L f(x)sin 0 ( nπ L L x) dx = (T i T 1 )sin 0 ( nπ x) dx L = (T i T 1 ) L nπ [cos nπ L x] = (T i T 1 ) L nπ [1 ( 1)n ] T = T 1 + 2(T i T 1 ) π e (nπ L )2 t n=1 T 1 T 1 با توجه به معادله )5-14( و جایگذاری مقدار با جایگذاری مقدار انتگرال در معادله )5-14 ) خواهیم داشت : [ 1 ( 1)n ] sin ( nπ n L x) 1 ( 1) n n n زوج 0 { 2 n فرد n T = T 1 + 4 π (T i T 1 ) 1 n e (nπ L )2 t n=1 n های فرد معادله توزیع دما به صورت زیر خواهد شد : sin nπ L لذا برای (5 15) q = ka T x q = KA [ 4 π (T i T 1 ) 1 n e (nπ L )2 t nπ L cos nπ L q = 4kA T i T 1 L e (nπ L )2 t n=1 cos nπ L x] (5 16) x (5 17) 69

لذا مجموع حرارت خروجی از سطح 0=x و x=l در هر لحظه از t برابر است با q = 8kA T i T 1 L e (nπ L )2 t (5 18) لذا برای محاسبه مقدار حرارت خروجی از سطوح دیواره از لحظه شروع تبادل حرارتی تا لحظه t کافی است Q = 8kA T i T 1 L = 8kA T i T 1 L t e (nπ L )2 t 0 dt 1 [ ( nπ e (nπ L )2 t ] L )2 t o از رابطه )5-18( ) t تا 0=t) انتگرال بگیریم. = 8(T i T 1 ) kal [ 1 nπ ( nπ (1 e ( L )2 t )] )2 L α = K ρc p از آنجائیکه kal (T i T 1) = AL ρc p (T i T 1 ) = mc p (T i T 1 ) Q = 8Q i 1 ( nπ L = Q i nπ (1 e ( L )2 t ) (5 19) )2 Q i مقدارانرژی حرارتی درون جسم در لحظه اول یعنی قبل از شروع تبادل حرارتی است. 70

: 5 4- حل معادالت انتقال حرارت هدایتی ناپایدار بدون چشمه حرارتی مسائل انتقال حرارت ناپایدار برای بعضی از اشکال هندسی چون صفحه استوانه و کره حل شده است و به صورت منحنی های کاربردی در دسترس است که معروفترین این منحنی ها نمودارهای هیسلر می باشند. هیسلر برای اشکال هندسی یک بعدی دیواره استوانه و کره جهت محاسبه دمای مرکز دمای بخشی از مرکز و مقدار کل حرارت تلف شده را به صورت نمودار بیان کرده است. : 5-4-1 پارامترهای بدون بعد کاربردی در انتقال حرارت هدایتی ناپایدار B i = hl k F o = αt L 2 θ θ i = T T T i T 1 عدد بدون بعد بایو 1 عدد بدون بعد فوریه 1 عدد بدون بعد دما Q Q i 4 عدد بدون بعد حرارت تلف شده θ θ i = θ o θ i θ θ o 5 عدد بدون بعدی ایجادی توسط اعداد بدون بعد موجود در نمودار هیسلر X L 6 عدد بدون بعد طول نکته 1: اگر بخواهیم به کمک نمودار هیسلر ( نمودار پاسخ دما( دمای مرکز اشکال را پیدا کنیم. کافی 1 است مقدار B i و F o 71 را از نمودار مربوطه تعیین و به هم متصل نمائیم محل برخورد این دو پارامتر با θ = T o T T مقدار دمای را نشان می دهد. که در رابطه اخیر o محور عمودی نمودار مذکور مقدار θ i T i T مرکز اشکال مربوط می باشد. اشکال )1-1( و )1-4( و )1-5( ضمیمه 1 کتاب

2: نکته اگر بخواهیم به کمک نمودار هیسلر دمای نقاط دیگر اشکال را بر حسب فاصله از مرکز تعیین کنیم کافی است با توجه به شکل اگر دیوار بود نسبت مقدار عددی مقدار x L و اگر استوانه یا کره بود نسبت r R o B i 1 θ = T T θ o T o T و همچنین را پیدا کرده و محل تالقی این دو پارامتر با محور عمودی نمودار مربوطه را نشان می دهد که در رابطه اخیر T مقدار دمای نقاط خواسته شده اشکال )غیر از مرکز ) مربوطه می باشد. اشکال )1-6( و )1-1( و )1-8( ضمیمه 1 کتاب 3: نکته اگر بخواهیم به کمک نمودار هیسلر مقدار کل حرارت تلف شده اشکال را محاسبه کنیم کافی است با توجه به شکل نسبت نمودار مربوط مقدار 1 Bi و F o B i را پیدا نموده و محل تالقی این دو پارامتر با محور عمودی Q Q i حرارتی درون اشکال در حالت آغازی و Q )1-11( و )1-11( ضمیمه 1 کتاب را نشان می دهد. که در رابطه اخیر مقدار ) T- Q i =mcp(t i که مقدار انرژی مقدار کل حرارت تلف شده اشکال می باشد. اشکال )1-1( و 5-5: حل معادالت انتقال حرارت هدایتی ناپایدار چند بعدی با استفاده از نمودارهای هیسلر جهت استفاده از نمودارهای هیسلر برای سیستمهای چند بعدی کافی است از اصل انطباق که از ضرب جوابهای سیستم های یک بعدی در یکدیگر می باشد استفاده کرد. بعنوان نمونه یک مکعب مستطیل با ضخامت های 2bو 2a 2c در نظر بگیرید از آنجا که هر نقطه مکعب در حقیقت روی هر سه دیواره قرار دارد. پس دمای بدون بعد آن نقطه را می توان به صورت زیر نوشت : T o T T i T مکعب مستطیل( = T o T T i T )2a T o T T i T )2b T o T T i T )2c برای آشنایی بیشتر با روش تفکیک سیستمهای چند بعدی ناپایدار به سیستمهای یک بعدی به نمودار) 1-11 ( ضمیمه 1 کتاب مراجعه شود. 72

6 5 : سیستم ظرفیت حرارتی فشرده تاکنون مسائل هدایت حرارتی ناپایداری را مورد بررسی قراردادیم که در تمامی اشکال هندسی دمای هر نقطه از سیستم برحسب زمان و مکان متغیر بود. لیکن در مورد اجسام کوچک می توان با یک فرض منطقی تغییرات دما را برای کلیه نقاط درون جسم ناچیز فرض نمود و در هر لحظه دما در سراسر جسم را یکسان در نظر گرفت در این صورت مفهوم آنست که مقاومت جابجایی جسم و محیط بسیار بزرگتر از مقاومت هدایتی داخلی جسم است و نیز گرادیان دما در الیه مرزی حرارتی خیلی بزرگتر از گرادیان دما در داخل جسم است لذا شرط استفاده از سیستم ظرفیت حرارتی فشرده و قابل اعتماد بودن پاسخ حاصله برقراری معیار زیر است B: i عدد بدون بعد بایو که عبارت است از نسبت مقاومت هدایتی حرارتی در داخل جسم به مقاومت جابجایی حرارتی در جسم کوچکتر از 0.1 باشد. B i = hl c k < 0.1 (5 20) L c = V A : ضریب انتقال حرارت جابجایی h : طول مشخصه جسم L c : V حجم جسم : A سطح جسم بنابراین هرگاه مقدار عدد B i برابر صفر شود سیستم ظرفیت حرارتی فشره جواب کامال دقیق به ما میدهد -5: 7 حل معادله توزیع دما در سیستم ظرفیت حرارتی فشرده هرگاه جسم کوچکی به جرمm و دانسیه ρ و گرمای ویژه C p و سطح A که در آغاز در دمای ثابت T i 73

است ناگهان در مجاورت سیالی با دمای T و ضریب انتقال حرارت جابجایی h قرار گیرد و با فرض اینکه در هر لحظه از زمان دمای جسم در سراسر جسم یکسان باشد. معادله توزیع دما در داخل جسم برحسب زمان و شدت انتقال حرارت مبادله شده بین جسم و سیال در هر لحظه و مقدار حرارت مبادله شده از زمان شروع ناپایداری تا هر لحظه به شرح ذیل خواهد بود. شکل )5-1( شکل )5-2( مدل هدایت ناپایدار در سیستم با ظرفیت حرارتی فشرده اگر در سیستمی مفهوم ظرفیت گرمای صادق باشد. در آن صورت به مرور زمان گرما از طریق جابجایی به محیط منتقل می شود. ودمای جسم جامد با زمان کاهش می یابد. کاهش تدریجی دمای جسم به مفهوم کاهش انرژی داخلی جسم جامد می باشد. لذا میزان افزایش انرژی در زمان dt برابر میزان انتقال حرارت به داخل جسم در زمان dt ha(t T ) = mc p dt dt ha dt = mc p o t o T dt T T (5-21) عالمت منفی نشانه کاهش انرژی داخلی جسم است (5 22) 74

ha mc p t = Ln T T T o T T T T o T = e ha m cp t (5 23) لذا معادله توزیع دما بر حسب زمان به صورت زیر خواهد بود : شکل )5-1 ) T = T + (T i T )e ha m cp t (5 24) معادله )5-14 ) گویای این موضوع است که در شرایط یکسان هرچه مقدارhبیشتر باشد و یا گرمای ویژه Cp جسم کوچکتر باشد جسم زودتر به دمای تعادل می رسد بنابراین شدت انتقال حرارت از جسم در هر زمان برابر شدت تغییرات انرژی داخلی است لذا q = mc p dt dt (5 25) q = mc p [(T i T ) ( ha mc p ) e را محاسبه و در معادله )5-15( قراردهید. ha mc p t ] dt dt کافی است از معادله )5-14 ) q = ha(t i T )e ha mc p t (5 26) مقدار کل حرارت منتقل شده از جسم از شروع ناپایدار تا زمان t کافی است از معادله )5-16 ) در بازه Q = q t dt = ha(t i T )e ha o t ha(t i T ) ( mcp ) [1 e ha o t ha mcp t ] 0 t mcp t dt 75 ) t تا t= 0 ( انتگرال بگیریم.

Q = mcp(t i T ) (1 e ha mcp t ) (5 27) معادله انتقال حرارت کل از شروع ناپایداری تا هر لحظه از زمان شکل )5-4 ) Q = Q i (1 e ha mcp t ) (5 28) شکل )5-3( مدل تغییرات دما بر حسب زمان برای یک جسم فشرده شکل )5-4( مدل حرارت تلف شده بر حسب زمان برای دیواره نازک 76

: 5-8 سیستم ظرفیت حرارتی فشرده بدون اثر جابجایی بدین منظور یک دیواره نازک به ضخامت 2L و ضریب هدایت حرارتی ثابت K در دمای اولیه T i را در نظر بگیرید که ناگهان دمای سطوح آن به دمای T o تغییر یافته و ثابت باقی بماند معادله تغییرات دمای جسم بر حسب زمان و همچنین میزان انتقال حرارت جسم به صورت زیر خواهد بود. شکل )5-5 ) t=0 T=T1 t>0 T=T0 0 L X شکل )5-5 ) مدل هدایت حرارتی ناپایدار در یک دیواره نازک با توجه به تقارن دیواره محور مختصات را در وسط دیواره انتخاب می کنیم و از آنجائیکه در هر لحظه حرارت هدایت شده از هر سطح دیواره برابر تغییر انرژی داخلی همان سطح است لذا داریم : mc p T t = ka T x (5 29) T ALρc p t = KA T T o L (5 30) 77

= K و جایگذاری آن در معادله( 30 5) خواهیم داشت : ρ C p با تغییر متغیر T θ = T و با جانشینی θ θ = L 2 dt θ = ce L 2t و با توجه به شکل( 5 5) با جایگذاری شرط اولیه t = 0 T = T i θ i = T i T o C = T i T o T T o = e T i T o L 2t بنابراین معادله توزیع دما بر حسب زمان به صورت زیر خواهد بود : T = T o + (T i T o )e L 2t (5 31) با توجه به اینکه شدت انتقال حرارت جسم برابر شدت تغییرات انرژی داخل جسم است خواهیم داشت : q = mc p dt dt = mcp [(T i T o ) ( L q = KA T i T o L e 2) L 2t ] بنابراین معادله شدت انتقال حرارت جسم به صورت زیر خواهد شد : e L 2t (5 32) برای محاسبه مقدار کل حرارتی که از شروع ناپایداری یعنی از زمان (t تا = 0 t) که جسم خارج یا وارد می شود کافی است از معادله )5-11( نسبت به tانتگرال بگیریم. 78

t Q = qdt o Q = KA L (T i T o ) ( L2 ) [e L 2t ] t o Q = Q i (1 e L 2t ) Q i = mc p (T i T o ) (5 33) 5-9: اهمیت عدد بدون بعد بایو عدد بایو نقش اساسی در مسائل هدایت غیر دائم دارد و شکل )5-6( و )5-1( بطوریکه این دیواره در دمای یکنواخت T i قرار داشته باشد و سپس با فرو بردن در سیالی به دمای T B i T i < T به شرطی که تحت سرمایش جابجائی قرار می گیرد این مسئله در جهت x یک بعدی بوده و دما با زمان و مکان تغییر می کند T(x,t) این تغییرات به شدت به عدد بایو بستگی دارد. 1 اگر عدد بایو << 1 باشد گرادیان دما در جسم کوچک است لذا( T(t T(x,t) یعنی تمام اختالف دما بین جسم و سیال وجود دارد و دمای جسم در حالیکه به سمت T میل می کند همواره یکنواخت است T = T(x,t) B i 1 اگر عدد 1 باشد. گرادیان دما در جسم قابل مالحظه خواهد بود یعنی B i 1 اگر عدد بایو >> 1 است. باشد اختالف دما در جسم هنوز خیلی زیادتر از اختالف دمای سطح وسیال 79

شکل )5-6( مدل توزیع دمای ناپایدار برای اعداد مختلف بایو در یک دیواره مسطح با جابجائی سطحی شکل )5-7( مدل اثر عدد بایو روی توزیع دمای دائم در یک دیواره مسطح با جابجائی سطحی 80

11 5 : خالصه مسائل هدایت ناپایدار در اغلب کاربردهای مهندسی وجود دارند هنگام مواجه شدن با یک مسئله ناپایدار برای رعایت سادگی کار اولین قدم محاسبه عدد بایو است اگر این عدد کوچکتر از 1/1 باشد می توانیم از ظرفیت حرارتی فشرده با حداقل محاسبات نتیجه دقیقی را بدست آوریم ولی اگر عدد بایو بزرگتر 1/1 بود باید اثرات مکانی را نیز مد نظر قراردهیم که در این صورت از نمودارهای هسیلر ( نمودار پاسخ دما ) استفاده می نمایم در غیر اینصورت باید از روش تحلیلی که همان حل معادالت دیفرانسیل است معادله توزیع دما و شدت انتقال حرارت را بدست آوریم. 1 هرگاه ضریب حرارت حرارتی جسم بینهایت باشد توزیع دما در داخل جسم یکنواخت است. 1 هر گاه شیب دما برحسب فاصله در دو سمت فصل مشترک جسم جامد و سیال برابر باشد در این صورت مقدار عدد بایو برابر یک است یعنی مقاومت حرارتی هدایتی و مقاومت حرارتی جابجایی برابر هستند 1 نسبت حاصلضرب دانستیه در حجم و گرمای ویژه جسم به حاصلضرب مقاومت حرارتی جابجایی در سطح جسم جامد را ثابت زمانی گویند و با τ نشان می دهند. τ c = ρvcp ha = m cp ha. m cp ha τکوچکتر c باشد مدت زمان الزم برای رسیدن دمای جسم به دمای محیط کمتراست 4 هر چه مقدار عددی 5 مدت زمانیکه که نیاز است تا حرارت در داخل جسم فاصله L را به صورت انتقال حرارت هدایتی طی کند برابر L 2 α خواهد بود. 6 عدد فوریه یک عدد بدون بعد است و برابر است نسبت حاصلضرب ضریب نفوذ حرارتی در زمان به توان دوم ضخامت جسم 1 هر گاه ضخامت جسم L و در لحظه اولیه 0=t عدد فوریه برابر صفر است 1 B i 8- هر گاه مقدار برابر صفر باشد مفهوم آن اینست که مقدار h به سمت بینهایت می رود. 81

فصل ششم مقدمه ای بر انتقال حرارت جابجایی 82

: 6-1 مقدمه تاکنون انتقال حرارت هدایتی را بررسی کردیم و انتقال حرارت جابجایی را فقط در مواقعی که شرایط مرزی را ارضا می کرد مورد استفاده قراردادیم لذا در بررسی مسائل جابجایی دو هدف اصلی را دنبال میکنیم 1 فهم مکانیزم فیزیکی انتقال حرارت جابجایی 1 روش های محاسباتی مکانیزم انتقال حرارت جابجایی : -6 2 ضریب انتقال حرارت جابجایی برای درک بهتر شرایط موجود شکل )6-1( را مد نظر قرار می دهیم. سیالی که با سرعت uو دمای T روی سطحی به مساحت A جریان دارد به شرطی که دمای سطح T w و T T w باشد بین سطح و سیال مبادله حرارت صورت می گیرد و این مبادله حرارت به صورت جابجای خواهد بود و شدت جریان حرارت را می توان طبق قانون سرمایش نیوتن به صورت زیر نشان داد q A = h(t w T ) (6 1) که در معادله )6-1( h ضریب جابجایی موضعی می باشد از طرفی با تغییر شرایط جریان از نقطه ای به نقطه دیگر در روی سطح مقدار q و h روی سطح می باشد. نیز متعاقب آن تغییر می کند که مقدار آن برابر انتگرال شدت جریان q = qda (6 2) A شکل )6-1( جریان یکنواخت پایدار روی صفحه تخت 83

و با توجه به اینکه سرعت در مجاورت صفحه صفر است انتقال حرارت از دیواره به سیال از طریق هدایت انجام می گیرد و طبق قانون فوریه شدت انتقال حرارت به صورت زیر خواهد بود q A = k T y y = 0 (6 3) با مقایسه رابطه ) 6-1 (و )6-1( خواهیم داشت h = k T y T w T y = 0 (6 4) رابطه )6-4( بیانگر این است که h ضریب انتقال حرارت جابجایی تابع گرادیان دماست T y لذا برای پیدا کردن شیب دما در سطح جسم نیازمند داشتن معادله توزیع دما در داخل الیه مرزی حرارتی می باشیم و با مشتق گیری از معادله توزیع دما در جایی که 0=y است گرادیان دما محاسبه می شود و گرادیان دما سپس T y را در معادله )6-4( قرارداده ضریب انتقال حرارت جابجایی محاسبه می شود و سپس با کمک قانون سرمایش نیوتن مقدار h ضریب انتقال حرارت جابجایی شدت انتقال حرارت جابجایی بدست می آید. : 6 3- اعداد بدون بعد کاربردی در انتقال حرارت جابجایی اعداد بدون بعد ما را در فهم پدیده های جریان سیال کمک می کنند و مهمترین اعداد بدون بعد که در انتقال حرارت کاربرد دارند عبارتند از : 1- عدد رینولدز : Re عبارت است از نسبت نیروی لختی به نیروی گرانو و نقش عدد رینولدز در جریان جابجایی اجباری است Re = ρ. U L μ = U L ϑ (6 5) 84

1 عدد پرانتلPr : بیانگر نسبت نفوذ ملکولی اندازه حرکت به نفوذ ملکولی حرارت و رل مهمی در انتقال حرارت جابجایی ایفا می کند و کنترل کننده خوبی میان توزیع دما و سرعت می باشد. Pr = ϑ μ ρ α = = k ρc p C p μ k (6 6) 1 عدد ناسلت : Nu بیانگر نسبت انتقال حرارت جابجایی به انتقال حرارت هدایتی است Nu = h T k T L = hl k St (6 7) 4 عدد استانتون : بیانگر نسبت شار حرارتی جابجایی به ظرفیت حرارتی S t = h T ρc p u T = h ρc p u = Nu RePr (6 8) : 6-4 الیه مرزی سرعت برای آشنایی با الیه مرزی جریان روی صفحه تحت شکل )6-1( را در نظر بگیرید سرعت سیالی که با سطح در تماس اند صفر است این ذرات حرکت ذرات در الیه باالتر را کند می کند و این عمل تا y=δ V ادامه و اثر آن ایجاد تنش برشیτ روی صفحات موازی سرعت سیال است حال با افزایش y فاصله از سطح δ V U مولفه ی x سرعت سیال U تا مقدار در جریان آزاد افزایش می یابد لذا فاصله از سطح دیواره تا جایی که الیه های ذرات سیال تحت اثر تنش برشی نیست را ضخامت الیه مرزی سرعت گویند و مقدار y) فاصله از سطح( در U=1/11U می باشد بنابراین جریان سیال توسط دو ناحیه از هم متمایز می باشند ناحیه اول : ناحیه ای است که در آن یک الیه نازک سیال ( الیه مرزی ) وجود دارد وگرادیان سرعت و تنش های برشی بزرگ هستند. ناحیه دوم : ناحیه ای که خارج از الیه مرزی است که گرادیان سرعت و تنش های برشی قابل صرف نظر کردن هستند و با افزایش فاصله از لبه ابتدای اثرات لزجت هرچه بیشتر به داخل جریان آزاد نفوذ کرد و 85 الیه مرزی رشد می کند یعنی افزایش ضخامت الیه مرزی با افزایش طول x

: 6-5 الیه مرزی حرارت الیه مرزی حرارتی همانند الیه مرزی سرعت هنگامی بوجود می آید که دماهای سطح و جریان سیال آزاد متفاوت باشند شکل )6-1( اگر دمای صفحه تخت ثابت باشد در لبه ابتدای پروفیل دما یکنواخت یعنی T(y)=T است ولی ذرات سیالی که در تماس با صفحه قراردارند در تعادل حرارتی به دمای صفحه می رسند و با مبادله حرارت بین ذرات سیال و الیه مجاور گرادیان دما در سیال بوجود می آید. ناحیه ای که این گرادیان دما وجود دارد الیه مرزی حرارتی نامیده می شود و به صورت آن در y برابر خواهد بود با : δ t نشان داده می شود ومقدار T w T T w T = 0.99 T w شکل )6-2( الیه مرزی حرارتی روی صفحه تخت δ v 86 : 6-6 اهمیت الیه های مرزی مشخصه الیه مرزی سرعت که ضخامت آن در حالیکه مشخصه الیه مرزی حرارت که ضخامت آن δ t است وجود گرادیان سرعت و تنش برشی می باشد است وجود گرادیان دما و وانتقال حرارت می باشد لذا پارامترهای مهم در انتقال حرارت جابجایی ضریب اصطکاک الیه مرزی سرعت و الیه مرزی حرارت و ضریب انتقال حرارت جابجایی می باشد. : 6 7- جریان آرام ومغشوش اولین گام در مباحث انتقال حرارت جابجایی تعیین نوع جریان است یعنی آرام یا مغشوش بودن سیال در الیه مرزی است شکل )6-1( در الیه مرزی آرام حرکت سیال کامال منظم است و می

توان خطوط جریان راکه ذرات سیال در امتداد آنها حرکت می کند را مشخص نموده و در الیه مرزی مغشوش حرکت سیال کامال نامنظم است و توسط نوسانات سرعت مشخص می شود که این نوسانات انتقال ممنتوم انرژی اصطالک سطحی و نرخ انتقال حرارت جابجایی را تحت تاثیر قرار می دهند. شکل )6-3( رشد الیه مرزی سرعت روی صفحه تخت : 6-8 معادالت حاکم در الیه مرزی برای سادگی در محاسبات فرضیات زیر را در نظر می گیریم. جریان آرام و دائمی است. 1. سیال تراکم ناپذیر است. 1. خواص فیزیکی طی فرآیند ثابت اند. 1. در جهت جریان فقط انتقال حرارت جابجایی است. 4. از انتقال حرارت هدایتی و تشعشعی صرف نظر می کنیم. 5. عمق حجم کنترل در جهت z برابر واحد است. 6. : 6-8-1 معادله پیوستگی 87

برای تعیین معادله پیوستگی یک حجم کنترل( δx.δy.1 ) را در داخل الیه مرزی سرعتی انتخاب میکنیم و اصل بقای جرم در داخل این حجم کنترل را مورد بررسی قرار می دهیم. شکل )6-4( y ρv + y (ρv)dy z x ρu y x ρu + x (ρu)dx ρv شکل )6-4( المان حجم کنترل برای بقای جرم در الیه مرزی سرعتی (ρu)dy + (ρv)dx [ρu + (ρu) (ρv) ] dy [ρv + ] dx = 0 (6 9) x y با حذف عبارات مشابه و تقسیم کردن باقیمانده معادله بر dx. dy خواهیم داشت. (ρu) x + (ρv) y = 0 (6 10) با توجه به غیر قابل تراکم بودن سیال معادله )6-11( نام دارد. به صورت زیر خواهد بود. که این معادله پیوستگی 88

u x + v y = 0 (6 11) 6 8-2- معادله اندازه حرکت : قانون دوم حرکت نیوتن برای حجم کنترل دیفرانسیلی در یک الیه مرزی سرعت چنین بیان می گردد مجموع نیروهایی که روی سطح کنترل عمل می کند باید با نرخ خالص ممنتوم خروجی از حجم کنترل ( جریان خروجی جریان ورودی ) برابر باشد. شکل )6-5( μ ( u y + 2 u y 2 y) P δy δx P + ( P x x) τ = μ u y شکل )6-5( المان حجم کنترل برای تعادل نیروها در الیه مرزی سرعتی لذا نیروهای وارده بر حجم کنترل دیفرانسیلی شامل مجموع نیروهای سطحی و نیروهای حجمی است که این نیروها به صورت زیر تعریف می شوند. 6-8-2-1 نیروی حجمی : این نیروها بر کل جرم موجود در حجم کنترل اثر می کنند و ناشی از میدانهای خارجی مانند : جاذبه میدان مغناطیسی و میدان الکتریکی هستند که در اینجا تنها نیروی حجمی که در محاسبات در نظر میگریم نیروی حاصل از میدان جاذبه یعنی وزن است. 6-8 -2-2 نیروی سطحی : 89

این نیرو ها ناشی از عوامل زیر هستند : نیروهای حاصل از برش اجسام صلب توسط کنترل گذرنده از بین آنها نیروهای حاصل از فشار هیدرواستاتیکی و تنشهای ناشی از لزجت که در اثر حرکت سیال با گرادیان سرعت حاصل می شود. و در سیال ساکن هیچ گونه تنش برشی وجود ندارد. بنابراین تنها نیروی سطحی نیروی فشاری است لذا برای استفاده از قانون نیوتن شدت جریانهای ممتنوم سیال مربوط به حجم کنترل نیز باید تعیین شود. لذا شدت جریان جرم در سطح ( x در صفحه )y-z برابر ρu و شدت جریان ممتنوم در جهت x برابر (ρu)u خواهد بود. به همین ترتیب شدت جریان ممتنوم در جهت x ناشی از جریان جرم در سطح )در صفحه )x=z برابر (ρv)u خواهد بود. شکل )6-6( (ρv)u + y [(ρv)u]dy (ρu)u δy δx (ρu)u + x [(ρu)u]dx (ρv)u شکل )6-6( المان حجم کنترل برای شدت جریان ممتنوم در الیه مرزی سرعتی نرخ خالص ممتنوم خروجی از حجم کنترل در جهت x برابر است : 90

x [(ρu)u]dx. dy + [(ρv)u]dx. dy (6 12) y نیروی وارده بر سطح حجم کنترل عبارتند از تنش برشی در جهت سطح و نیروهای فشاری عمود بر سطح x خالص نیرو فشاری در جهت = p dx. dy. 1 x x خالص نیرو تنش برشی در جهت = μ 2 u (6 13) y 2 dx. dy با مساوی قراردادن نرخ تغییر ممتنوم سیال در جهت x معادله )6-11( با مجموع نیروهای وارده در جهت x معادله )6-11( و تقسیم طرفین بر dx. dy و با توجه به غیر قابل تراکم بودن سیال خواهیم داشت. ρ (u u u + V x y ) = p x + μ 2 u y 2 p x مقدار 0= زیرا فشار در جهت عمود بر سطح تغییر نمی کند لذا فشار در الیه مرزی فقط به x بستگی دارد. و با فشار جریان آزاد در خارج از الیه مرزی برابر است لذا معادله اندازه حرکت در جهت زیر خواهد بود : x به صورت u u u + V x y = θ 2 u 2 (6 14) y همچنین برای تعیین معادله اندازه حرکت در جهت y نیز می توان به روش فوق عمل نمود و نهایتا معادله اندازه حرکت در جهت y به صورت زیر خواهد بود : u v v + V x y = θ 2 v 2 (6 15) x 6-11 معادله انرژی : 91

برای تعیین معادله انرژی یک حجم کنترل δx.1 δy. را در داخل الیه مرزی حرارتی در نظر میگیریم و موازنه انرژی برای این حجم کنترلی را برای واحد زمان می نویسیم. شکل )6-6( خالص انرژی و جابجایی درجهت + x خالص انرژی و جابجایی درجهتy + خالص انرژی هدایتی درجهتx برابر کار خالص نیروهای ویسکوزیته. x حال سرعت در جهت y را V و سرعت در جهت را با U و عرض سیال در جهت Z را واحد در نظر میگیریم. شکل )6-6( المان حجم کنترل برای تحلیل انرژی در الیه مرزی حرارتی نرخ جرم ورودی برابر ρudy. 1 m = انرژی جابجایی ورودی از سمت چپ ρuc p Tdy انرژی جابجایی ورودی از سمت پایین ρvc p Tdx 92

با توجه به فرض آرام بودن جریان در جهت عمود بر صفحه انتقال حرارت از طریق هدایتی خواهد بود.که مطابق قانون فوریه مقدار آن برابر K.dx 1. T x خواهد بود. ازطرفی کار نیروی ویسکوزیته برابراست باحاصلضرب نیروی برشی درفاصله ای که این نیرو اثر میکند یعنی: μ u u. dx. y y. dy ای u y. بعنوان فاصله وdx.1 که) μ u بعنوان نیروی برشی که به ازای واحد سطح به عنوان سطح و dy y که نیروی برشی در واحد زمان اثر می کند ) ρc p utdy + d(ρc p utdy) از طرفی انرژی خروجی برابر است با انرژی ورودی + دیفرانسیل تغییرات انرژی ورودی انرژی جابجایی خروجی از سمت راست برابر است با : = ρc p dy (u + u T dx) (T + dx) (6 16) x x و حرارت جابجایی خروجی از سمت باال برابر است با : ρvc p Tdx + d(ρc p vtdx) = ρc p dx (v + v T dy) (T + dy) (6 17) y y و حرارت هدایتی خروجی از سمت باال برابر است با : K T T dx + d ( K y y dx) = Kdx [ y ( T T ) dy + ] (6 18) y y با جایگذاری این مقادیر در موازنه انرژی و با صرف نظر کردن از جمالت دیفرانسیلی درجه دوم خواهیم داشت : ρc p [u u x + v T + T ( u y x + v y )] dxdy = K 2 2 T 2 dxdy + μ ( u y y ). dxdy(6 19) 93

u x + v y = 0 u u x + v T y = K 2 T ρc p y 2 + μ ( u 2 ρc p y ) با توجه به معادله پیوستگی خواهیم داشت (6 20) از آنجائیکه کار نیرو برشی در سرعتهای پایین ناچیز است لذا با صرف نظر کردن نیروی کار برشی و جایگذاری K = معادله انرژی در الیه مرزی به صورت زیر خواهد بود : ρc p u u x + v T y = 2 T (6 2 21) y 6-11 معادالت حاکم درالیه مرزی جریان آرام صفحه تخت : ضریب جابجایی حرارتی و ضریب اصطالک روی صفحه تخت را می توان با حل عددی یا حل تواما معادله پیوستگی ممنتوم و انرژی به صورت تحلیلی و یا به صورت تجربی تعیین کرد. لذا به صورت خالصه معادالت حاکم بر الیه مرزی بصورت زیر خواهند بود : { u x + v y = 0 u u u + V x y = θ 2 u dy 2 u T x + V T y = α 2 T y 2 معادله پیوستگی معادله اندازه حرکت معادله انرژی (6 22) برای سادگی در محاسبات دمای بدون بعدθ را به صورت زیر تعریف می کنیم. 94

θ(x, y) = T (x,y) T w T T w (6 23) به طوری که (x,y) θ روی الیه مرزی حرارتی یعنی جایی که T T = برابر یک می شود. ولی مقدار (x,y) θ در روی صفحه که T = T w برابر صفر است. لذا معادله انرژی با توجه به تعریف فوق به صورت زیر خواهد بود : u θ x + V θ y = 2 θ (6 2 24) y با توجه به شرایط مرزی = 0 θ y = 0 T = T w y = δ t T = T θ = 1 حل دقیق معادله) 6-14 ( بسیار مشکل خواهد بود زیرا باید اول مولفه هایu,v را از معادله اندازه حرکت بدست آورده سپس معادله انرژی را حل نمایم لذا از حل تقریبی به روش انتگرال گیری استفاده می کنیم. برای این کار از معادله انرژی )6-14( در فاصله 0 تا α نسبت به y که بزرگتر از هر کدام از الیه های مرزی است انتگرال می گیریم و مولفه u را از معادله پیوستگی )6-11( بدست می آوریم و در معادله انرژی قرار می دهیم u θ x + V θ y = 2 θ y 2 α α u θ θ dy + V x y 0 0 dy = ( θ y θ y = α y ) y = 0. = θ y (6 25) y = 0 برابر صفر است زیرا α در خارج از الیه مرزی قرار دارد بنابراین دمای آن ثابت لذا θ مقدار y y = α 95

گرادیان دما در خارج از الیه مرزی صفر است. حال مولفهV در معادله )6-15( را با استفاده از رابطه پیوستگی حذف می کنیم یعنی دومین انتگرال در معادله )6-15 ) را به روش جز به جز حساب می کنیم α V θ y dy = Vθ α o θ V y dy 0 o α = V y = α α θ V y y o (6 26) V y = α α می باشند و از طرفی داریم u y = y o θ V و = 1 چون = 0 y = α y = 0 α لذا اگر این دو مقدار در معادله )6-16( قرارگیرد داریم : α V θ u dy = y x dy + θ u x dy 0 o o α 6-15( ) خواهیم داشت : V = u و از معادله پیوستگی y x (6 27) حال با جایگذاری معادله) 6-11 ( در معادله α (u θ x + θ u x u θ ) dy = x y 0 y = 0 و یا [u (uθ) x 0 α u θ ] dy = x y y = 0 96

α= δ t d dx [ 0 u(1 θ)dy] = θ y y = 0 (6 28) توجه شود که مقدار انتگرال در α > δ t صفر است زیرا در خارج از الیه مرزی = 1 θ و در نتیجه مقدار انتگرال برابر صفر است لذا حد نهایی انتگرال را به جای α یعنی δ t قرار می دهیم و آنرا محاسبه میکنیم. از طرفی حل معادله )6-18 ) نیز مشکل است زیرا دارای سه مجهول u,,θ δ t می باشد. پس به دو رابطه دیگر نیز نیاز داریم لذا برای این جمله ای زیر در نظر می گیریم. کار معادله توزیع دما (x,y) θ در الیه مرزی δ t را به صورت چند θ (xوy) = C 0 + C 1 y + C 2 y 2 + C 3 y 3 0 < y < δ t (6 29) شرایط مرزی برای حل معادله تقریبی توزیع دما و با توجه به معادله حاکمه در الیه مرزی : B. c. 1 y = 0 θ = 0 B. c. 2 y = δ t θ = 1 B. c. 3 y = δ t θ y = 0 (6 30) B. c. 4 y = 0 θ = T T w T T w 2 θ y 2 = 0 تعریف الیه مرزی گرمایی قابل درک است یعنی : 97 شرط اول ودوم از

شرط سوم به این مفهوم است که در محدوده لبه الیه مرزی گرمای توزیع دما یکنواخت است پس شیب θ y = 0 توزیع دما صفر است یعنی : شرط چهارم به مفهوم این است که در معادله کلی انرژی سرعت های uوvروی صفحه صفر است یعنی : 2 θ y 2 = 0 با قراردادن چهار شرط مرزی باال در معادله )6-11( مقادیر ثابت C 3 و C 2 و C 1 و Cتعیین 0 می شود درنتیجه معادله توزیع دما به صورت زیر خواهد بود. θ = 3 2 ( y ) δ 1 t 2 ( y 3 ) δ t سرعت (y وU(x در الیه مرزی هیدرودینامیک چند (6 31) به همین ترتیب برای پیدا کردن معادله توزیع جمله ای زیر را انتخاب می کنیم : u(x, y) = C 0 + C 1 y + C 2 y 2 + C 3 y 3 0 < y < δ v (6 32) چهار شرط الزم برای پیدا کردن ثابت های چند جمله ای )6-11( عبارتند از: B. c. 1 y = 0 u = 0 B. c. 2 y = δ u = U B. c. 3 y = δ B. c. 4 y = 0 u y = 0 2 U y 2 = 0 98

سه شرط اول مستقیما از تعریف الیه مرزی هیدرودینامیک نتیجه میشود و شرط چهارم نیز از معادله حرکت 2 u برابر بطوریکه در 0=x هم u و هم v برابر صفر خواهند بود. لذا در نقطه 0=x طبق معادله حرکت y 2 C 0 C 2 صفر است. لذا با اعمال چهار شرط فوق درمعادله )6-11( مقدار ثابتهای C 3 و و C 1 و تعیین شده در نتیجه معادله توزیع هیدرودینامیکی به صورت زیر خواهد بود. u = 3 U 2 ( y ) 1 δ v 2 ( y 3 ) δ v (6 33) حال با داشتن معادله توزیع دما و معادله توزیع سرعت و قراردادن آنها در معادله انرژی )6-18( و با حل معادله مذکور ضخامت الیه مرزی محاسبه خواهد شد. بنابراین با توجه به پیچیده بودن معادله )6-18( از ادامه حل معادالت دیفرانسیلی مذکور به صورت تحلیلی صرف نظر نموده و بصورت خالصه نتایج حاصله از δ v = 5x Re معادالت دیفرانسیلی مذکور را بیان می کنیم. 6-11-1 معادالت تجربی در الیه مرزی جریان آرام صفحه تخت : (34 6) ضخامت الیه مرزی Nu = hl 35) (6 ناسلت دما ثابت K T w = const = 0.332Re1 2 Pr 1 3 Nu = hl 36) (6 ناسلت شار ثابت K q = const = 0.417Re1 2 Pr 1 3 T w = 0.332Re 1 2 2 37) (6 تنش برشی ρu 38) (6 نرخ انتقال حرارت ) T q = ha(t w δ V = Pr 1 3 (39 6) ضخامت الیه مرزی δ t D = 3 2 ( y ) 1 δ t 2 ( y 3 ) δ t 40) (6 پروفیل دما 99

u = 3 U 2 ( y ) 1 δ v 2 ( y 3 ) δ v 41) (6 پروفیل سرعت : معادالت تجربی در الیه مرزی جریان مغشوش صفحه تخت 6-11-2 δ V = 0.381x 42) (6 ضخامت الیه مرزی Re 1 5 Nu = hl 43) (6 ناسلت دما ثابت K T w = const = 0/0296Re4 5 Pr 1 3 Nu q = const = 1.04Nu Tw = const θ = ( y 1 7 δ ) t (44 6) ناسلت شار ثابت 45) (6 پروفیل دما T w = 0.0296Re 1 5 2 46) (6 تنش برشی ρu 47) (6 ضخامت الیه مرزی δ V δ t u = ( y 1 7 u δ ) v 48) (6 پروفیل سرعت در الیه مرزی مغشوش گرادیان سرعت در سطح و در نتیجه تنش برشی روی سطح و گرادیان دما روی سطح و در نتیجه نرخ انتقال حرارت بسیار بیشتر از الیه مرزی آرام است Nu = 1.04Nu T w = const (48 6) ناسلت شار ثابت 100

6-12 :جریان داخلی سیال آرام با سرعت یکنواخت وارد لوله ای به شعاع r o می شود.شکل )6-8( شکل )6-8( رشد الیه مرزی سرعت آرام در یک لوله زمانیکه سیال با سطح داخلی لوله در تماس قرار گیرد اثرات لزجت ظاهر می شود و الیه مرزی متناسب با x افزایش می یابد و این افزایش منجر به نازک شدن ناحیه غیر لزجت سیال گردد و نهایتا الیه های مرزی در محور لوله بهم دیگر می رسند فاصله محل تماس الیه های مرزی تا دهانه ورودی لوله را طول ورودی هیدرودینامیکی گویند و بعد از طول ورودی هیدرو دینامیک جریان کامال توسعه یافته است. و تمامی بحث ها مربوط به جریان داخلی بعد از طول هیدرو دینامیک است بنابراین طول ورودی هیدرودینامیک در جریان آرام برابر = 0.05Re همچنین طول ورودی هیدرودینامیک در جریان درهم برابر 10 X D X D خواهد بود. خواهد بود. 6-13 : جریان سیال از روی استوانه 101

با توجه به شکل )6-1( و )6-11( به محض برخورد جریان سیال آزاد به نقطه جلوی استوانه سرعت آن صفر خواهد شد ولی فشار دراین نقطه زیاد است ولی بعد از این نقطه با افزایشx درجهت حرکت عقربه های ساعت ( dp dx فشار کاهش می یابد در این صورت الیه مرزی تحت اثرگرادیان فشار مط لوب (0 < رشد می نماید این عمل تا آنجایی ادامه پیدا می کند که فشار به حداقل مقدار خود برسد و رشد الیه مرزی در پشت استوانه و ( dp ادامه پیدا می کند. با وجود گرادیان فشار نامطلوب به (0 > dx وقتی که سرعت جریان آزاد خیلی پایین است (Re<4) سیال به طور کامل دور استوانه پیچیده می شود و دو جریان سیال در بخش عقبی استوانه به طور منظم به هم می رسند. وقتی که سرعت جریان آزاد زیاد باشد. جریان دیگر نمی تواند به سطوح فوقانی بچسبد و از سطح استوانه جدا شده و در پشت آن تشکیل گردابه میدهد. این نقطه را نقطه جدایش گویند لذا در نقطه جدایش گرادیان سرعت در سطح جسم صفر است یعنی : u y = 0 y = 0 شکل )6-9( یک استوانه عمود بر جریان ایجاد الیه مرزی و جدائی روی 102

شکل )6-11( پروفیل سرعت مربوط به جدائی روی یک استوانه عمود بر جریان : 6 14- انتقال حرارت جابجایی روی استوانه چون جریان روی استوانه دارای پیچیدگی های است لذا برای تعیین انتقال حرارت از روش های تجربی کمک می گیریم شکل )6-11( نتایج تجربی تغییر ن تاس برحسبθ ل را برای یک استوانه عمود بر جریان هوا را نشان میدهد بطوریکه با افزایش θ به واسطه رشد الیه مرزی آرام θ Nu کاهش مییابد کمترین مقدار Nuجریان θ در آرام 80 θ رخ میدهد ودر این نقطه جدایی اتفاق افتاده و وجود اختالط ناشی از تشکیل گردابه باعث می شود که Nu θ با θ افزایش یابد. از طرفی با افزایش Re> 10 5 تغییر Nu θ با θ توسط دو مینیمم مشخص میشود.کاهش مقدار Nu θ نسبت به مقدار آن در نقطه سکون ناشی از رشد الیه مرزی آرام است ولی افزایش ناگهانی Nu θ بین 80 و 100 بواسطه تبدیل الیه مرزی آرام به مغشوش است لذا با رشد بیشتر الیه مرزی مغشوش Nu θ دوباره شروع به کاهش می کند نهایتا جدایی در 141=θ اتفاق می افتد. 103

شکل )6-11( عدد ناسلت برای جریان هوای عمود بر استوانه لذا رابطه تجربی انتقال حرارت جابجایی برروی استوانه عبارت خواهد بود. NU D = hd = K CRen Pr 1 3 (6 48) n,c در معادله )6-48( ثابت های هستند که مقدارشان از جدول )6-1( تعیین می گردند. جدول )6-1( ثابتهای معادله )6-48( برای استوانه دایره ای عمود بر جریان 104

: 6-15 انتقال حرارت جابجایی در داخل استوانه بعد از ناحیه ورودی هیدرودینامیکی پروفیل سرعت کامال توسعه یافته و بدون تغییر است و پروفیل سرعت برای جریان آرام سهموی و برای جریان مغشوش در جهت شعاع مسطح تر است بنابراین روابط تجربی زیر برای جریان داخلی یک استوانه برقرار است Re i = 4mo πdμ Re i = 4mo π(d o +D i )μ NU q=const = hd K NU Tw =const = hd K رینولدز داخل استوانه (49 6) رینولدز داخل پوسته (50 6) = 4.36 ناسلت داخل استوانه جریان آرام شار ثابت (51 6) (52 6) ناسلت داخل استوانه جریان آرام دما ثابت = 3.66 53) (6 ناسلت داخل استوانه جریان مغشوش NU T = hd K = 0.023 Re4 5 Pr n T w > T برای گرمایش n = 0/4 T w < T برای گرمایش n = 0/3 برای محاسبه دقیق عدد ناسلت جریان آرام داخل پوسته می توان از جدول )1-1( ضمیمه کتاب استفاده گردد. P = f L D ρ U 2 D h = 4A c P 2g (54 6) افت فشار داخل لوله 55) (6 قطر هیدرولیکی 105

: 6-16 خالصه با مطالعه این فصل بایستی بتوانیم با استفاده از موازنه انرژی و روابط انتقال حرارت جابجایی محاسبات الیه مرزی سرعت و الیه مرزی حرارت و پروفیل سرعت و دما در داخل الیه مرزی تنش برشی و شدت انتقال حرارت داخلی و خارجی اشکال را انجام دهیم برای این کار الزم است ابتدا آرام یا مغشوش بودن جریان را تعیین کرده و سپس روابط هر جریان را با توجه به اشکال هندسی مربوط محاسبه می کنیم 1 -اگر جریان در روی صفحه کوچکتر یا مساوی 11 5 5 بوده جریان آرام و بزرگتر 11 5 5 جریان درهم است 1- اگر جریان در داخل لوله کوچکتر یا مساوی 1111 بود جریان آرام و بزرگتر 1111 1- نسبت ضخامت الیه مرزی سرعت به ضخامت الیه مرزی حرارت تابعی از عدد پرانتل بود جریان درهم است است 4 هرگاه عددPr بزرگتر از یک باشد ضخامت الیه مرزی سرعت از ضخامت الیه مرزی حرارت بلندتر است 5 هرگاه عدد Pr کوچکتر از یک باشد ضخامت الیه مرزی سرعت از ضخامت الیه مرزی حرارت کوتاهتراست 6- هرگاه ضخامت عددPr برابر 1 یک باشد ضخامت الیه مرزی سرعت و ضخامت الیه مرزی حرارت برابراند خواص فیزیکی سیال تعیین کننده نسبت ضخامت های الیه مرزی سرعت و حرارت هستند 8- عدد Pr در گازها تقریبا برابر یک و در فلزات مایع کوچکتر از یک هستند 1 در جریان مغشوش ضخامت الیه مرزی سرعت برابر ضخامت الیه مرزی حرارت خواهد بود 106

فصل هفتم آشنایی با مبدلهای حرارتی 107

7-1 مبدلهای حرارتی : فرآیند تبادل حرارت بین دو سیال با دماهای متفاوت که توسط یک دیواره جامد جدا شده اند را مبدل حرارتی می گویند و براساس معیارهای مختلفی از جمله فرآیند انتقال هندسه و آرایشی که قرار می گیرند دسته بندی می شوند انتقال حرارت در مبدل حرارتی به صورت انتقال حرارت کننده دو سیال می باشد جابجایی در هر سیال و هدایت از طریق دیوار جدا یکی از ساده ترین مبدلهای حرارتی: مبدل های حرارتی دو لوله ای هستند که شامل دو لوله هم محور است که در لوله داخلی یک سیال و در لوله بیرونی ( پوسته ) سیال دیگر عبور می کند که عموما به سه نوع تقسیم می گردند. 1 جریان موازی : سیال گرم و سیال سرد هر دو از یک طرف مبدل وارد شده واز طرف دیگر مبدل خارج می شوند شکل )1-1 ) 2 جریان مخالف : سیال گرم و سیال سرد از دو سمت جداگانه وارد مبدل و از آن خارج می شوند شکل 1( 1- ) 3 جریان متقاطع : سیال سرد و سیال گرم به صورت عمود بر هم حرکت می کنند شکل) 1-1 ) 108

شکل )7-1 ) آرایش جریان در مبدل های دولوله ای 7-2 مبدل حرارتی لوله پوسته ای : مبدل حرارتی لوله پوسته ای یکی از انواع متداول مبدل ها می باشد. اشکال خاص این نوع مبدل بر حسب تعداد پوسته و مسیرهای لوله تفاوت دارند و ساده ترین شکل آن شامل پوسته و لوله تک مسیره می باشد شکل( 1-1 ). نصب مغشوش کننده ها که معموال برای افزایش ضریب جابجائی سیال طرف پوسته صورت می گیرد موجب تحریک اغتشاش و افزایش سرعت عمود بر لوله ها می شود مبدل های حرارتی با مغشوش کننده با یک مسیر پوسته دو مسیر لوله ای و دو مسیر پوسته چهار مسیر لوله ای در شکل )1-1( نشان داده شده اند. 109

شکل) 7-2 ) مبدل حرارتی لوله پوسته ای با یک مسیر پوسته و یک مسیر لوله شکل )7-3 ) مبدل های حرارتی لوله و پوسته ای.(a) یک مسیر پوسته و دو مسیر لوله. ( b )دو مسیر پوسته و چهار مسیر لوله. 110

7-3 تجزیه و تحلیل مبدلهای حرارتی : عموما در درس انتقال حرارت تجزیه و تحلیل مبدلهای حرارتی به دو روش مورد بررسی قرار می گیرد 1 استفاده از اختالف دما متوسط لگاریتمی خروجی سیاالت مشخص باشند (LMTD) این روش زمانی کاربرد دارد که دماهای ورودی و 2 استفاده از روش راندمان (NTU) این روش زمانی کاربرد دارد که دماهای ورودی و خروجی سیال مشخص نباشد و در این فصل فقط روش اول مورد بررسی قرار می گیرد. 7-3-1 محاسبات مبدلهای حرارتی به روش اختالف دمای متوسط لگاریتمی : فرضیات الزم برای حل مسائل مربوط به مبدلهای حرارتی به روشLMTD عبارتند از: مبدل حرارتی نسبت به محیط عایق بندی شده و تبادل حرارت منحصرا بین سیالهای سرد وگرم انجام می گیرد. از هدایت محوری در طول لوله ها صرفنظر می شود. از تغییرات انرژی پتانسیل و جنبشی صرفنظر می شود. گرمای ویژه سیالهای سرد وگرم ثابت اند. ضریب انتقال حرارت کلی ثابت می باشد..1.1.1.4.5 نکته : گرمای ویژه بواسطه تغییرات دما تغییر می کند. و ضریب انتقال حرارت کلی در نتیجۀ تغییرات خواص سیال و شرایط جریان تغییر می کند. ولی در اغلب مسائل مهندسی چنین تغیراتی مهم نیستند. گام اول : با توجه به اینکه همواره دو نوع سیال یا گاز با دمای متفاوت در مبدل های حرارتی در جریان هستند بهتر آن است سیال یا گاز گرم را با اندیس h و سیال یا گاز سرد را با اندیس c مشخص نمائیم. سیال گرم :... h Th i, Th o, cp h, m h, μ h, h h, k Tc i, Tc o, cp c, m c, μ c, h c, k c. 111 سیال سرد :

گام دوم : با مراجعه به جداول خواص سیاالت یا گازها با توجه به دمای متوسط هر سیال یا گاز در ورود و خروج مبدل مقدار عددی خواص مربوطه را تعیین می کنیم. و (T h = Th i + Th o 2 T c = Tc i + Tc o 2 ) گام سوم : نرخ انتقال حرارت در هر مبدل با اعمال موازانه ی کلی انرژی برای هر سیال بدست می آید. q = m cp h h ( Th i Th o ) q = m c cp c ( Tc o Tc i ) گام چهارم : با تعین نرخ انتقال حرارت طول مورد نیاز مبدل حرارتی به شرح ذیل تعیین می گردد. q = F. U. A. T m A = 2π r i L که مقدار A )سطح جانبی لوله داخلی ) برابر است با گام پنجم : اختالف دمای متوسط لگاریتمی را با توجه به معادله زیر تعیین می کنیم. نکته: اگر مبدل جریان موازی و هم محور باشد. شکل )1-4( T m = T i T o ln T i T o { T i = Th i Tc i T o = Th o Tc o 112

شکل )7-4 ) توزیع های دما در یک مبدل حرارتی با جریان موازی نکته : اگر مبدل جریان مخالف و هم محور باشد. شکل) 1-5 ( { T i = Th i Tc o T o = Th o Tc i شکل )7-5 ) توزیع های دما برای یک مبدل حرارتی با جریان مخالف 113

گام ششم : ضریب انتقال حرارت کلی مبدل به صورت زیر تعیین می شود. U = 1 1 + 1 + R h i h o که در معادله باال h i و h o به ترتیب ضریب انتقال حرارت داخلی لوله و پوسته و R مجموع مقاومت های هدایتی جداره لوله و مقاومتهای رسوبی اعم از داخلی و خارجی لوله می باشند. نکته : برای محاسبه مقدار h i و h o کافی است مقدار عددی Re را برای جریان داخلی و جریان خارجی تعیین و با توجه به نوع جریان آرام یا مغشوش بودن آنها به کمک روابط تجربی ناسلت ها (Nu) مقدار h i و h o را تعیین می کنیم. 4m i Re Di = πd i μ گام هفتم : برای تعیین مقدار h i ( داخل لوله( نکته: اگر 2300 i Re باشد. آنگاه جریان آرام است و با توجه به روابط تجربی مربوطه برای جریان آرام مقدار h i به صورت زیر تعیین می گردد. NU = h id i k i اگر = 4.36 q = const NU = h id i k i اگر = 3.66 T w = const نکته : اگر > 2300 Re باشد انگاه جریان در هم است و با توجه به رابطه تجربی مربوطه برای جریان درهم مقدار h i به صورت زیر تعیین می گردد. NU = h id i k i = 0.023 R e 4 5 p r n برای گرمایش = 0.4 n T w > T برای سرمایش = 0.3 n T w < T 114

گام هشتم : تعیین مقدار ho ( داخل پوسته( Re Do = 4m o π( D 0+ D i )μ 0 با توجه به مقدار عددی Re عمل می کنیم. که مقدار آن کوچکتر از 2300 یا بزرگتر از 2300 باشد همانند گام هفتم گام نهم : برای تعیین )R ) مجموع مقاومتهای هدایتی جداره لوله و مقاومتهای رسوبی داخلی وخارجی لوله با توجه به اینکه لوله های مبدل حرارتی عموما استوانه ای شکل رسوبی آنها برابر خواهد بود با : هستند مقاومت هدایتی حرارتی و n R = i=1 ln r i+1 r i 2πk i L گام دهم : برای تعیین ضریب تصحیح F از اشکال مربوطه )1-11( )1-14( و )1-15( و )1-16( ضمیمه 1 کتاب با داشتن مقدار عددی P = Tc o Tc i Th i Tc i و P به و R = Th i Th o Tc o Tc i R و عمود نمودن محل برخورد R و p محور عمودی اشکال مربوطه و تعیین محل برخورد مقدار F تعیین می گردد. گام یازدهم : با داشتن F,U, T m q, مقدار L به صورت زیر محاسبه می شود : L = q FU πd i Tm نکته : اگر مبدل حرارتی پوسته و لوله ای بود. دبی عبوری را حتما بر تعداد لوله تقسیم نمائیم تا دبی عبوری از یک لوله بدست آید و محاسبات را برای یک لوله انجام دهید. نکته : اگر مبدل حرارتی دو لوله ای بود. مقدار عددی 1=F خواهد بود. نکته : تعداد مسیر های لوله حتما زوج باشد. اما مقدار مسیرهای پوسته می تواند زوج و یا فرد باشد. 115

نکته : اگر چنانچه طول پوسته را در مسئله ای مقید کرده باشند برای تعیین طول لوله مبدل ناچارا باید طول لوله محاسبه شده از رابطه L = q FU πd i Tm کوچکتر یا مساوی طول پوسته مقید شده گردد. را بر عدد زوجی تقسیم نموده تا طول لوله جدید 7-4 معیارهای انتخاب جریان برای لوله یا پوسته : 1 سیالی که رسوب بیشتری دارد درون لوله ها جریان یابد. چون تمیز کردن داخل لوله ها آسان تر است. 1 سیالی که خورنده است درون لوله ها جریان یابد زیرا درغیر اینصورت هم لوله و هم پوسته خورده خواهد شد. 1 سیالی که فشارش بیشتر دارد درون لوله ها جریان یابد. 4 سیالی که دارای ضریب انتقال گرمای کوچکتری است در سمت پوسته جریان یابد زیرا می تواند با نصب پره ها روی جداره خارجی لوله ها انتقال گرما را بیشتر کند 5- سیالی که دبی جرمی کمتری دارد در سمت پوسته جریان یابد. 6 سیالی که دمای آن به دمای محیط نزدیک است در سمت پوسته جریان یابد. 1- سیال سمی درون لوله ها جریان یابد. 8 سیال لزجتردر سمت پوسته جریان یابد 1 سیال گازی شکل در سمت پوسته جریان یابد. چون عدد رینولدز پوسته به دلیل قطر بیشتر پوسته بزرگتر است. 7-5 بافل ها : بافل ها دارای دو نقش مهم هستند : الف نگه داشتن لوله ها و افزایش استحکام سازه ب- ا حن راف جریان در جهت عرضی و متقاطع با لوله ها بافل ها سبب افزایش انتقال گرما افزایش افت فشار و کاهش رسوب گرفتگی پوسته می شوند. 116

1- با افزایش فاصله بافلها از هم ضریب انتقال گرما و افت فشار داخل پوسته هر دو کاهش می یابند. 1- با افزایش تعداد گذر لوله ها و یا کاهش قطر لوله ها افت فشار افزایش می یابد. -1 برای افزایش ضریب انتقال گرما در سمت لوله ها می توان تعداد گذر لوله ها را افزایش داد. 4 -برای افزایش ضریب انتقال گرما در سمت پوسته می توان فاصله بافلی را کاهش داد. 7-6 راه اندازی بستن مراقبت و نگهدار ی از مبدلهای حرارتی پوسته و لوله : از جمله مهم ترین اصول کار با مبدلهای حرارتی داشتن اطالعات کافی در زمینه شرایط کارکرد و عملیاتی یک مبدل است. همچنین رعایت اصول و قوانین موجود در رابطه با راه اندازی از کار انداختن و همچنین مراقبت و بازدید مرتب از عملکرد یک مبدل جزء موارد ضروری در استفاده از یک مبدل می باشد. در این بخش اصول کلی که جهت انجام هر یک از اعمال فوق باید رعایت شود ذکر می گردد. قابل توجه است که بسته به شرایط عملیاتی و مسائل خاص هر واحد اصول دیگری نیز باید رعایت گردد. 7-7 راه اندازی up( )Start : یکی از عملیات مهم در استفاده از یک مبدل حرارتی راه اندازی آن است. برای انجام عمل Start up معموال نکات زیر مرحله به مرحله به اجرا در می آید : شیر تخلیه مایع سرد را باز می کنیم. ( قسمت تیوب ) شیر ورودی مایع سرد را به آهستگی و تماما باز می کنیم. وقتیکه لوله ها کامال پر شدند شیر تخلیه مایع سرد را می بندیم. شیر خروجی مایع سرد را به اندازه کافی باز می کنیم. شیر تخلیه مایع گرم را باز می کنیم. )قسمت پوسته ) شیرخروجی مایع گرم را باز می کنیم. شیر تخلیه مایع گرم را پس از پر شدن پوسته می بندیم. شیر ورودی مایع گرم را به آهستگی باز می کنیم. 117.1.1.1.4.5.6.1.8

مقدار جریان هر دو مایع را برای دمای مناسب تنظیم می کنیم. ( بوسیله شیرها ی خروجی( درجه حرارت ها را بدقت بازرسی می کنیم..1.11 7-8 بستن مبدلها : جهت از کار انداختن یا از سرویس خارج کردن ( Down ) Shut- نکات زیر باید بترتیب مورد توجه قرار گرفته و انجام شود : شیر ورودی مایع گرم را به آهستگی و کامال می بندیم. شیر خروجی مایع گرم را به آهستگی و کامال می بندیم. مایع گرم درون پوسته را از طریق شیر تخلیه خالی می کنیم. شیر ورودی مایع سرد را کامال می بندیم. شیر خروجی مایع سرد را کامال می بندیم. مایع سرد درون لوله ها را از طریق شیر تخلیه خالی می کنیم. اگر مبدلها بطور موازی و سری کار می کنند باید مواظب جریان در مبدلهای دیگر باشیم..1.1.1.4.5.6.1 7-9 بازرسی مبدلها حرارتی در حین کار کردن : پس از در سرویس قرار دادن مبدل حرارتی کنترل مراقبت و بازرسی شرایط کارکرد و مقایسه آن با شرایط عملیاتی طراحی شده همواره بعنوان اصلی ترین برنامه برای یک اپراتور در نظر گرفته می شود. در مراقبت و بازرسی از یک مبدل حرارتی بطور معمول موارد زیر کنترل می گردد: 1. درجه حرارت حین کار را بازرسی می کنیم. 1. فشار حین کار را بازرسی می کنیم. 1. از ایجاد شوک حرارتی جلوگیری می کنیم. 4. در کولر باکس ها دسته لوله ها باید در آب غوطه ور باشند. 5. تیوبهای ری بویلر باید در نفت غوطه ور باشند. 6. از هر دو مایع درون مبدل نمونه گیری می کنیم. 118

7-11 تمیز کردن مبدل حرارتی : معموال بعد از مدتی کار رسوبات موادی که در داخل و بیرون دسته لوله ها جریان دارند ته نشین شده داخل لوله ها و فواصل بین آنها را پر می نماید بطوریکه از راندمان تبادل حرارتی کاسته میشود. در این موقع است که دسته لوله ها را برای تمیز کردن از پوسته خارج و بشرح ذیل اقدام می کنند: شستشو با آب داغ و با سرعت زیاد بعضی رسوبات نمک دار را در خود حل و تمیز مینماید. رسوبات داخل لوله ها را با برس سیمی استوانه ای شکل که توسط ماشین هوائی داخل لوله ها چرخانده می شود تراشیده و با فشار آب به خارج هدایت می کنیم. البالی دسته لوله ها را با وسایل مناسبی تراشیده و با فشار آب تمیز می نمایند. اگر رسوبات طوری باشد که با وسایل معمولی تمیز نشود آنرا در محلول شیمیایی که بتواند رسوبات را در خود حل نماید قرار میدهند و سپس با آب فشار قوی شستشو میدهند. نباید لوله ها را تک تک با بخار یا مایع داغ تمیز نمود زیرا باعث انبساط نسبی و معیوب شدن آنها می گردد. معموال تمیز کردن داخل لوله ها آسانتر از باالی آنها از بیرون است لذا مایعی که بیشتر از خود رسوبات بر جا میگذارد از داخل تیوبها عبور میدهند..1.1.1.4 7-11 آزمایش مبدلهای حرارتی : آزمایش مبدلهای حرارتی به منظور پیدا کردن عیوب و نشتی های زیر انجام میگیرد : 1. ترک خوردگی یا سوراخ بودن پوسته 1. معیوب بودن مسیرهای اتصال قطعات به پوسته 1. شل بودن پیچ و مهره های قطعات متصل شده به پوسته 4. سوراخ بودن Tubeها 5. نشتی از درز لوله های معیوب 6. عدم پرچ شدن صحیح Tubeها در صفحه لوله ها 1. نشتی از محل اتصال قطعات به دسته Tube 119

آزمایش بوسیله مایع )معموال آب ) و با فشار توصیه شده انجام داده میشود. این فشار 1/5 برابر فشار توصیه دستگاه هنگام کار است و روی تابلوی هر مبدل حرارتی نیز نوشته شده است. وسایل آزمایش انواع مبدلهای حرارتی بر حسب ساختمان آنها با هم دفرق می کنند و هر کدام قطعات مربوط به خود برای آزمایش دارند. بطور کلی دو نوع آزمایش برای پیدا کردن عیوب فوق روی مبدلهای حرارتی انجام می گیرد : 7-12 آزمایش پوسته ( Test ) Shell : آزمایش پوسته برای پیدا کردن عیوب 1 تا 5 مرحله قبلی انجام میگیرد. پس از آماده کردن یعنی جدا کردن مبدل حرارتی از دستگاههای دیگر توسط فلنج و نصب فشار سنج Shell را پر از آب کرده و پس از هواگیری توسط تلمبه فشار داخل پوسته را با اندازه الزم باال می برند و سپس شیر تلمبه را می بندند. اگر معایب 1 تا 5 وجود نداشته باشد و وسایل اضافی که به منظور آزمایش نصب شده اند بدون عیب بوده و درست نصب شده باشند این فشار باید مدتی ( حدود یک ساعت ) ثابت بماند در غیر این صورت باید عیب را پیدا و آن را رفع نمود. نکته : اگر در Tube ها سوراخی پیدا شود. با موافقت مهندسی عملیات میتوان تا 15 درصد از تعداد کل آنها را کور Plug( ) کرده و اجازه داد که مبدل حرارتی به کار خود ادامه دهد. 7-13 آزمایش لوله ( Test ) Tube : آزمایش لوله برای پیدا کردن عیوب 6 و 1 مرحله قبلی بخصوص ترکهای موئی در زیر لوله ها که ممکن است در آزمایش پوسته بر اثر فشار وارده از بیرون به محیط لوله روی هم فشرده شده و معلوم نگردد انجام میگیرد. پس از آماده کردن مبدل جهت تست لوله با تلمبه فشار داخل لوله ها را به اندازه تعیین شده باال برده و شیر رابط بین تلمبه و دستۀ لوله را می بندند.. اگر عیوب 6 و 1 وجود نداشته باشد باید فشار تا مدتی ثابت بماند در غیر این صورت باید عیب را پیدا کرده و رفع نمود. اگر درز لوله ها به مقدار بسیار کمی باز شده باشد بطوریکه فشار به آهستگی کاهش یابد مقدار را ( حدود دو برابر فشار هنگام کار ) باال می برند که درز لوله باز شده و مایع به مقدار محسوس از مجرای خروجی پوسته خارج شود. 120

در غیر این صورت فقط معلوم میشود که لوله یا لوله ها یی درز باز کرده ولی معلوم نمی شود که کدام لوله است. جهت پیدا کردن لوله معیوب مجددا آزمایش پوسته را بطریقی که قبال شرح داده شد انجام می دهند. مایع از بیرون لوله ها وارد لوله ای که درز باز کرده می شود و انتها ی لوله معیوب بیرون می ریزد و بدین ترتیب لوله های معیوب معلوم می گردد. 7-14 گرفتگی ( Fouling ) : به هر رسوب نامطلوب روی سطوح انتقال حرارت که منجر به افزایش مقاومت حرارتی و کاهش میزان انتقال حرارت بین سیال سرد و گرم می شود گرفتگی اطالق می شود. عوامل ایجاد گرفتگی در لوله های مبدل حرارتی به طور خالصه عبارتند از : 7-14-1 رسوب های مواد نامحلول : رسوب مواد نامحلول روی سطح انتقال حرارت باعث تشکیل مقاومتهای حرارتی می شود. سولفات کلسیم سیلیکات منیزیم و کربنات لیتیم نمونه ای از این مواد هستند که با افزایش درجه حرارت میزان انحالل آنها کم می شود. 7-14-2 رسوبهای ویژه : زمانی که ذرات معلق جامد مانند )ماسه غبار و...( در سیال وجود دارند تجمع آنها باعث تشکیل رسوب و نتیجه آن افزایش میزان مقاومت در مقابل انتقال حرارت می باشد. 7-14-3 رسوبهای تشکیل دهنده ناشی از واکنشهای شیمیائی : این رسوبها با انجام واکنش شیمیائی روی سطح انتقال حرارت تشکیل می شود. نمونه ای از این واکنشها عبارتند از : پلیمریزاسیون کراکینگ. 121

7-14-4 رسوبهای تشکیل شده در اثر خوردگی : در این مورد سطح انتقال حرارت لوله ها در یک واکنش شیمیائی شرکت می کند و خود به عنوان یک ماده اولیه عمل کرده و در طول واکنش خورده می شود. 7-14-5 رسوبهای بیولوژیکی : در اثر وجود میکرو ارگانیسم ها و مجاورت آنها در کنار سطوح انتقال حرارت تشکیل می شود. 7-14-6 رسوبهای ناشی از سرد شدن مایعات ( Freezing ) : این رسوبها در نتیجه عمل انجماد مایعات و سرد کردن مذابها در مبدلهای حرارتی تشکیل می شود. 7-15 رشد رسوبها : رشد رسوبها و افزایش ضخامت آنها بستگی به زمان شرایط عملیاتی و ماهیت فیزیکی سیالهای سرد و گرم دارد. 7-16 هزینه های ناشی از تشکیل رسوب : کل هزینه های از تشکیل رسوب شامل هزینه اولیه هزینه انرژی هزینه نگهداری و هزینه خارج کردن از سرویس می باشد. 7-17 مالحظات مربوط به طراحی : در طراحی مبدلهای حرارتی مقاومت حرارتی تشکیل شده ناشی از تشکیل رسوب توسط ضرایبی بنام Fouling Factors لحاظ می گردد. در جدول شماره )1-1( نمونه ای از این ضرایب مشخص گردیده است. 122

R f (m 2.k/w) 1/1111 1/1111 1/1111-1/1111 1/1111 1/1111 1/1111 سیال آب دریا و آب تغذیه دیگ بخار ( کمتر از 50c) آب دریا و آب تغذیه دیگ بخار ( باالتر از 50c) آب رودخانه ( کمتر از 50c) سوخت مایع مایعات مبرد بخار ( بدون روغن ) جدول )7-1( ضرایب رسوب 7-18 مسدود شدن مسیر حرکت بخار Locking) (Vapor : در صورتی که در حین عمل انتقال حرارت بین سیالهای سرد و گرم در یک مبدل حرارتی پوسته و لوله تغییر فاز بوجود آید ( بویژه عمل میعان ) و سیالی که تغییر فاز داده در قسمت لوله قرار گیرد باید به این نکته توجه شود که در اثر میعان بخار و تبدیل بخشی از آن به مایع به تدریج سرعت حرکت بخار کم می شود. چنانچه این کاهش در سرعت بخار به اندازه ای باشد که موجب توقف حرکت آن گردد پدیده مسدود شدن مسیر حرکت بخار Locking( Vapor ) اتفاق می افتد. برای جلوگیری از رخ دادن پدیده ی مذکور باید سرعت حرکت را افزایش داد. ضمنا باید توجه داشت که افزایش بیش از حد سرعت بخار موجب بروز عمل ) خواهد شد. بنابراین در طراحی مبدلهای حرارتی و تعیین اندازه مناسب سطح انتقال طغیان Flooding( حرارت )اندازه لوله( توجه به تذکرات مذکور بسیار حائز اهمیت است. 7-19 خالصه : 1. اگر دو سیال تمیز و پاک و بدون رسوب باشند انتخاب محل جریان آنها در لوله یا پوسته اشکالی ایجاد نمی کند و تمام انواع مبدلهای حرارتی در این مورد قابل استفاده میباشند. 1. اگر یکی از دو سیال کثیف باشد بهتر است در لوله ها جریان پیدا کند چون تمیز کردن لوله ها آسان تر است و در این صورت دسته لوله ها باید از نوع مستقیم باشد و نوع U- تیوب نا مناسب است. 1. اگر یکی از دو سیال گازی و یا گاز همراه با مایع باشد بهتر است که در Shell جریان داشته باشد. 123

4. اگر نگهداری سرما یا گرمای یکی از دو سیال از نظر اقتصادی مهم باشد بهتر است در لوله ها جریان داشته باشد. 5. اگر سرما و یا گرمای سیالی که در پوسته یا Shell جریان دارد زیاد باشد و نیز اگر کنترل درجه حرارت دو سیال مهم باشد در اینصورت مبدل حرارتی باید عایق بندی شود. 6. اگر اختالف درجه حرارت در سیال زیاد باشد از مبدل حرارتی نوع U-Tube یا Floating Head باید استفاده نمود. استفاده از مبدل حرارتی Fixed Head وقتی ممکن است که پوسته این مبدل حرارتی دارای اتصال انبساطی Expansion) (Joint باشد. 1. اگر هدف مایع کردن بخار باشد (Condensation) در این صورت آن بخار باید وارد پوسته مبدل حرارتی شود. 8. اگر یکی از دو سیال آب باشد درجه حرارت آن نباید از ) 111 درجه فارنهایت یا 51 درجه سانتیگراد ) تجاوز کند. چون در غیر اینصورت در داخل مبدل حرارتی تشکیل رسوب ca( ) Co 3 خواهد داد. 1. اگر یکی از دو سیال در حین تبادل حرارت درجه حرارتش بحدی برسد که امکان تبخیر داشته باشد )مایع( بهتر است که از قسمت پائین مبدل وارد و از باالی آن خارج شود. 11. اگر حجم دو سیال ( سرعت x قطر جریان ) کم و اختالف درجه حرارت آنها زیاد باشد در غیر این صورت از مبدلهای حرارتی جند مسیر و یا مبدل حرارتی دو لوله ای Pipe( ) Double استفاده میشود. 11. اختالف دمای متوسط لگاریتمی جریان مخالف بزرگتر از جریان موازی است. 11. مقدار F برای جریان های متقاطع و چند مسیره کمتر از 1 و برای جریان مخالف یک مسیره برابر 1 است. 11. هرگاه تغییرات دمای یک سیال عبوری از مبدل تقریبا ثابت باشد )ناچیز( ضریب تصحیح آن برابر 1 خواهد بود. یعنی رفتار مبدل مذکور منفل از آرایش جریان است و این اتفاق زمانی بوقوع میپیوندد که یکی از سیال ها تغییر فاز دهد. 124

ضمیمه 1 خالصه روابط کاربردی برای حل مسائل انتقال حرارت I 125

1-1 روشهای انتقال حرارت : q = KA T 1 T 2 L q = ha(t w T ) q = f G f ε σa(t 1 4 T 2 4 ) انتقال حرارت هدایت ) یک بعدی پایدار) انتقال حرارت جابجایی انتقال حرارت تشعشعی σ = 5.669 10 8 w دیوار مسطح { هدایت 1-2 مقاومت گرمای: m 2 K 4 R cond = L KA = 1 conv R جابجایی ha استوانه { = cond R هدایت Ln r 2 r1 2πLK = 1 conv R جابجایی 2πrLh کره { R cond = r 2 r 1 هدایت 4πKr 1 r 2 = 1 conv R جابجایی 2πr 2 h 126

r c = K h شعاع بحرانی استوانه r c = 2K h شعاع بحرانی کره 1-4 پره ها : q o = ha o (T o T ) انتقال حرارت قبل از پره گذاری انتقال حرارت بعد از پره گذاری q T = q f + q uf q f = N. η f. h. A f (T o T ) q uf = ha uf (T o T ) ε f = نرخ انتقال حرارت با پره نرخ انتقال حرارت بدون پره = q ToT q o ضریب تاثیر پره 1-5 انتقال حرارت هدایتی ناپایدار : B i = hl c K عدد بدون بعد بایو L c = V A طول مشخصه = حجم سطح F o = t L 2 Pr = θ Nu = hl K عدد بدون بعد فوریه عدد بدون بعد پرانتل عدد بدون بعد ناسلت 127

Re = ρu L μ = UL ϑ عدد بدون بعد رینولدز S t = Nu = c 2 f RePr 2 = S t P 3 r T T T i T = e ha mc p t عدد بدون بعد استانتون معادله توزیع دما و زمان در سیستم ظرفیت فشرده حرارتی نکته: شرط به کارگیری سیستم ظرفیت فشرده حرارتی 0.1 i Bاست Q = Q i (1 e ha mcp t ) کل انرژی منتقله از لحظه شروع ناپایداری حرارتی تا زمان t حرارت داخلی اولیه جسم نسبت به محیط اطراف ) T Q i = mc p (T i انتقال حرارت جابجایی : 1-6 R e 5 10 5 R e > 5 10 5 R e 2300 R e > 2300 جریان آرام صفحه تخت جریان درهم صفحه تخت جریان آرام داخل استوانه جریان درهم داخل استوانه 1-6-1 جریان آرام صفحه تخت : δ V x = 5 ضخامت الیه مرزی سرعت ) 1 e R) 2 ضریب اصطالک C f = 0.664R 1 2 e 128

ج 1 تنش برشی موضعی 2 U τ w = 0.332R 1 2 e. ρ NU = hl = 0.664R 1 2 K e 1 P 3 r NU = hl K = 0.417R e δ v 1 = P 3 δ r t 1 1 2 3 Pr ناسلت ( اگر دمای صفحه ثابت باشد ) عدد ناسلت ) اگر شار حرارتی ثابت باشد) ضخامت الیه مرزی حرارت U = 3 (y U 2 δ ) 1 (y v 2 δ پروفیل سرعت ) 3 v θ = T T w T T w θ = 3 2 (y δ ) 1 t 2 (y δ پروفیل دما ) 3 t 6-2- ریان مغشوش صفحه تخت : δ v = 0.381 1 x R e 5 δ v δ t ضخامت الیه مرزی سرعت ضخامت الیه مرزی حرارت C f = 0.0592R 1 e 5 ضریب اصطالک NU = hl K = 0.0296R 1 e 5 Pr 1 3 NU q = const =1/04NU T = const عدد ناسلت ) اگر شار حرارتی ثابت باشد) عدد ناسلت ) اگر شار حرارتی ثابت باشد) U = ( y 1 7 U δ ) v پروفیل سرعت 129

ج 1 ج 1 ج 1 θ = ( y 1 7 δ ) t پروفیل دما τ w =0.0296R 1 e تنش برشی موضعی ) 2 5(ρU 7- ریان روی استوانه : NU = hd K = CR e n 1 P 3 r عدد ناسلت مقدارn وc از جدول )6-1( تعیین می شوند. نکته : محاسبات در داخل استوانه و اشکال بسته برای بعد از طول هیدرولیک می باشد دارای اعتبار است. که جریان کامال توسعه یافته : آرام ریان داخل استوانه -8 NU = hd K = 4.36 عدد ناسلت ) اگر شار حرارتی ثابت باشد) NU = hd K = 3.66 عدد ناسلت ) اگر دما ثابت باشد) درهم ریان داخل استوانه : -9 130

عدد ناسلت NU = hd K = 0.023R e 0.8 Pr n برای گرمایش T n = 0.4 T w > برای سرمایش T n = 0.3 T w < P = f L D ρ U 2 D h = 4A c P 2g افت فشار داخل استوانه قطر هیدرولیک 1-11 مبدل حرارتی : *روش اختالف دمای متوسط لگاریتمی LMTD q = m h C P h (T hi T ho ) q = m c C P c (Tc o Tc i ) موازنه انرژی برای سیال گرم موازنه انرژی برای سیال سرد q = F. U. A. T m T m = T i T o Ln T i T o اختالف دمای متوسط T i = Th i Tc i { جریان موافق T o = Th o Tc o T i = Th i Tc o { جریان مخالف T o = Th o Tc i 131

U = 1 1 ضریب کلی انتقال حرارت + 1 h i h o A = πdl m = ρva R Di = 4m i πd i μ سطح جانبی لوله جرم عبوری از لوله رینولدز داخل لوله R D = 4m o μ(d o + D i )π رینولدز داخل پوسته L = q FUπD i Tm طول مورد نیاز مبدل 132

ضمیمه 2 نمودارهای کاربردی برای حل مسائل انتقال حرارت I 133

نمودار 1-1( ) نمودار )1-1( بازده پره های محیطی با پروفیل مستطیلی 134

نمودار 1-1( ) نمودار 1-4( ) 135

136 نمودار 1-5( )

نمودار )1-6( دما به عنوان تابعی از دمای مرکز صفحه بی نهایت به ضخامت 2L نمودار 1-1( ) 137

نمودار 1-8( ) نمودار 1-1( ) 138

نمودار 1-11( ) نمودار 1-11( ) 139

نمودار )1-11( تفکیک سیستم های چند بعدی به چند سیستم یک بعدی 140

جدول )1-1 ) عدد ناسلت برای جریان آرام کامال توسعه یافته در یک مجرای حلقوی ج نمودار 1-11( ) 141

نمودار 1-14( ) نمودار )1-15 ) ضریب تصحیح مبدل جریان متقاطع تک مسیره با یک سیال که هر دو سیال غیر مخلوط اند 142